Ciąg arytmetyczny

[milus131]

Proszę o wskazówki:

Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest ciągiem arytmetycznym, w którym \(\displaystyle{ a_{51} = 1}\) oraz wyrażenie \(\displaystyle{ a_{23} a_{37}}\) ma najmniejszą możliwą wartość. Wyznacz \(\displaystyle{ a_{1}}\).

[SidCom]

Ciąg arytmetyczny z def.
\(\displaystyle{ a_{n}= a_{1}+(n-1)r \\
a_{51}=a_{1}+50r\\
a_{23}a_{37}=(a_{1}+22r)(a_{1}+36r)}\)
ostatnie wyrażenie to funkcja kwadratowa (ze wzg. na obie zmienne) dwóch zmiennych. Policz pochodną cząstkową po \(\displaystyle{ a_{1}}\) na przykład i przyrównaj do zera (dostaniesz warunek \(\displaystyle{ 2a_{1}+58r=0}\))
Ostatecznie razem z warunkiem na \(\displaystyle{ a_{51}}\) dostaniesz \(\displaystyle{ a_{1}= -1\frac{8}{21}}\)

[milus131]

Tak szczerze powiedziawszy jeśli chodzi o wykorzystywanie pochodnych do takich zadań to jestem zielona:) Ale dziękuję.

[Tmkk]

To może tak:

\(\displaystyle{ a_{23}a_{37}=(a_{1}+22r)(a_{1}+36r) = a_1^2 + 58a_1r + 792r}\)

Najmniejszą wartością jest wierzchołek jest paraboli, więc:

\(\displaystyle{ a_1 = p = -\frac{58r}{2} = -29r\\
a_1 = -29r\\
a_{51} = -29r + 50r = 21r = 1\\
r = \frac{1}{21}\\
a_1 = -\frac{29}{21} = -1 \frac{8}{21}}\)

[piasek101]

\(\displaystyle{ a_{23}=a_{51}-28r}\) oraz \(\displaystyle{ a_{37}=a_{51}-14r}\) i będziesz miała ,,zwykłe" kwadratowe.

[milus131]

No tak, wierzchołek... dziękuję, to mi rozjaśniło sytuację. Jeszcze raz dziękuję:)