Drgania harmoniczne

[aussie]

Bardzo proszę o pomoc w zadaniach:
Zad 1. Ile wynosi okres małych drgań kulki A w układzie złożonym z wahadła matematycznego i nieważkiej sprężyny (rys.)? Osobno wahadło matematyczne ma okres małych drgań \(\displaystyle{ T_1}\), a kulka A podwieszona tylko do sprężyny ma okres drgań \(\displaystyle{ T_2}\).



Zad 2. Wyobraźmy sobie tunel wydrążony w Ziemi wzdłuż jej osi obrotu. W chwili \(\displaystyle{ t = 0}\) ciało A zaczyna spadać swobodnie z powierzchni Ziemi w głąb tunelu, a ciało B zaczyna spadać w głąb tunelu z odległości \(\displaystyle{ r = \frac{R_Z}{2}}\) od środka Ziemi. Obliczyć czas t, po którym ciała się spotkają i wskazać miejsce spotkania. Zaniedbać opór powietrza oraz założyć, że Ziemia jest jednorodną kulą o promieniu \(\displaystyle{ R_Z = 6400 km}\).

Wyniki mają wyjść odpowiednio:
Zad1: \(\displaystyle{ T= \frac{T_1 \cdot T_2}{ \sqrt{T_1 ^{2} + T_2 ^{2} } }}\)
Zad2: Miejscem spotkania jest środek Ziemi. \(\displaystyle{ t= \frac{ \pi }{2} \cdot \sqrt{ \frac{R_Z}{g}}}\)

Odnośnie pierwszego zadania to próbowałam wyjść z równań na okres w oscylatorze harmonicznym, oraz w wahadle matematycznym, lecz nie dało to rezultatu.

W drugim zadaniu wydaje mi się, że ciało B które będzie spuszczone ze środka Ziemi będzie stało w miejscu, ponieważ nie będzie działała na niego żadna siła, a ciało A będzie poruszać się ruchem harmonicznym. Spotka się z ciałem B w środku Ziemi, ponieważ będzie to \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) jego okresu, więc:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \cdot 2 \pi \cdot \sqrt{ \frac{l}{g} }}\)
Jednak są to tylko moje rozmyślania. Bardzo proszę o podpowiedzi do tych zadań. Dziękuje

[luka52]

W pierwszym zadaniu sytuacja jest analogiczna do tej, z którą można się spotkać w zadaniu z szeregowym połączeniem dwóch sprężyn. Tak przynajmniej sugeruje wynik, choć na moje oko poprawniej jest skorzystać z równoległego połączenia, bo wychylenie dla sprężyny i wahadła jest jednakowe.

Z kolei w drugim należy zauważyć, że oba ciała będą poruszać się ruchem harmonicznym o tym samym okresie, ale różnej amplitudzie.

[aussie]

Nadal, nie mogę dojść do powyższych rozwiązań. Myślę jednak, że nie wymagają one jakiś skomplikowanych działań, jest to zadanie z I roku studiów. Bardzo bym prosiła o jak najbardziej "trywialne" rozwiązanie.
Czy w zadaniu drugim, ciało B będzie się poruszać?. Przecież nie działa na niego grawitacja...

[ares41]

Przecież nie działa na niego grawitacja...

Dlaczego ?

[aussie]

No właśnie nie jestem pewna. Jakoś nie mogę sobie tego wyobrazić, przecież grawitacja od środka działa...

[ares41]

To w takim razie pod wpływem jakiej siły miałaby się poruszać te ciała ?

Przypomnij sobie zależność siły grawitacji od odległości od środka kuli przy założeniu, że ta odległość jest mniejsza od promienia tej kuli.

[aussie]

Nadal borykam się z tym zadaniem. Jednak zauważyłam że z zależności: \(\displaystyle{ \omega _{1} ^{2}+\omega _{2} ^{2}= \omega _{3} ^{2}}\)
po przekształceniu wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{4 \pi }{T _{1} ^{2}}+\frac{4 \pi }{T _{2} ^{2}}=\frac{4 \pi }{T _{3} ^{2}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{T _{1} ^{2}+T _{2} ^{2} }{T _{1} ^{2} \cdot T _{2} ^{2} } = \frac{1}{T _{3} ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ T _{3}= \frac{T _{1} \cdot T _{2} }{ \sqrt{T _{1} ^{2}+T _{2} ^{2} } }}\)

Czyli wychodzi tyle ile w odpowiedzi. I teraz moje pytanie, czy jest to zbieg okoliczności, czy rzeczywiście zachodzą pewne związki między tymi ruchami. Jeżeli tak, to jakie?

[AiDi]

No więc generalnie zwrot "małe drgania" implikuje założenie, że kulka poruszać się będzie w przybliżeniu poziomo. Jeśli wahadło się się odchyli o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) to wartość składowej ciężaru stycznej do toru będzie wynosiła: \(\displaystyle{ mg\sin{\alpha}}\). Sinus można zastąpić stosunkiem \(\displaystyle{ x/l}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) to wychylenie kulki mierzone w poziomie. No i właśnie dla małych kątów możemy przyjąć, że długość łuku jaki zakreśli wahadło niewiele się różni od tego naszego odcinka. No i dalej, skoro wahadło przesunęło się w 'poziomie' o \(\displaystyle{ x}\) no to sprężyna się trochę ścisnęła, więc zadziała siłą przeciwnie skierowaną do wychylenia, o wartości \(\displaystyle{ kx}\). Zapiszmy jednowymiarowe równanie ruchu:
\(\displaystyle{ m\ddot{x}=-mgx/l-kx}\)
czyli:
\(\displaystyle{ m\ddot{x}+mgx/l+kx=0}\)
\(\displaystyle{ \ddot{x}+gx/l+kx/m=0}\)
\(\displaystyle{ \ddot{x}+(\omega_1^2+\omega_2^2)x=0}\)
gdzie: \(\displaystyle{ \omega_1^2=g/l}\) i \(\displaystyle{ \omega_2^2=k/m}\)
Można to oczywiście zastąpić jedną omegą z indeksem 3, która tak samo zależy od czasu jak pozostałe, co wynika wprost z matematycznego przedstawienia fizycznej definicji okresu. Dalej to myślę, że sobie poradzisz Jak ktoś lubi to może z równań Eulera-Lagrange, tylko w ogólności tracimy w pewnym sensie 'jednowymiarowość' zapisu, czego nie lubimy

A odpowiedzi na postawione wyżej pytanie jednoznacznie udzielić się nie da. Z pewnością ten związek częstości jest pewną 'regułą' dla pewnej klasy układów drgających w jednym wymiarze, dla których siły da się przybliżać liniowo w \(\displaystyle{ x}\). Pytanie tylko czy tych sił jest aż tak dużo by w ogóle był sens tą 'regułą' sobie zaprzątać głowę