Wzór rekurencyjny

[gosos]

Witam serdecznie,
Prosze Was o pomoc na wyprowadzenie wzoru rekurencyjnego dotyczącego całki:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }x^k \cos x \mbox{d}x}\).
Proszę pomóżcie

[rudy20]

Sprobuj przez czesci \(\displaystyle{ u=\cos x}\), \(\displaystyle{ v' = x^k}\)

[gosos]

To dostaje cos takiego
\(\displaystyle{ \int \cos x x^k = \cos x \cdot \frac{1}{k+1}x^{k+1}+\frac{1}{k+1}\int x^{k+1}\sin x \,\text{d}x}\)
i co dalej? nie wiem co zrobic z sinx który jest pod całką

[rudy20]

Edit: troszke zamieszalem ,mialo byc tak: te nowa calke ktora wyszla znow przez czesci tak samo, z powrotem sinus zamieni sie w cosinus a potega x-a sie podniesie i otrzymasz rekurencję.

[gosos]

A może być tak, że przyjme \(\displaystyle{ u=x^k, v^\prime =\cos x}\) wtedy całkując 2 razy przez części mam coś takiego
\(\displaystyle{ \int x^k \cos x\,\text{d}x = x^k \sin x +k\cdot x^{k-1}\cos x - k\left(k-1\right)\int x^{k-2}\cos x \,\text{d}x}\)
przyjmuje takie oznaczenie:
\(\displaystyle{ I_k = \int x^k \cos x\,\text{d}x}\) czyli ostatnia całke w tym równaniu wyżej moge zapisac jako \(\displaystyle{ I_{k-2}}\)

Jest ok?

[rudy20]

Tak, o to chodzi, rzeczywiscie wygodniej jest przyjac takie oznaczenie. Jesli nie ma zadnych bledow rachunkowych to jest ok