[Planimetria] Renesansowy problem z poprzeczką

[scyth]

"W jakiej odległości należy stanąć od pionowego odcinka, aby wydawał się on najdłuższy"?
Dokładniej opisując - mamy pionową poprzeczkę wiszącą sobie przed nami, jej górny wierzchołek jest na wysokości \(\displaystyle{ a}\), a dolny na wysokości \(\displaystyle{ b}\) nad poziomem naszego wzroku (czyli poprzeczka ma długość \(\displaystyle{ a-b}\)). \(\displaystyle{ x}\) jest odległością, w jakiej stajemy od poprzeczki:
\(\displaystyle{ \fcolorbox{white}{white}{%
\begin{pspicture}(0,-3.37)(8.5675,3.37)
\pscircle[linewidth=0.04,dimen=outer](0.64,-0.71){0.38}
\psline[linewidth=0.04cm](0.62,-1.05)(0.64,-2.67)
\psline[linewidth=0.04cm](0.66,-2.67)(0.04,-3.35)
\psline[linewidth=0.04cm](0.64,-2.69)(0.98,-3.29)
\psline[linewidth=0.04cm](0.0,-1.47)(1.3,-1.47)
\psline[linewidth=0.08cm,linecolor=red](7.74,3.33)(7.74,0.53)
\psline[linewidth=0.04cm](1.02,-0.69)(7.76,-0.65)
\psline[linewidth=0.04cm](1.04,-0.65)(7.76,3.35)
\psline[linewidth=0.04cm](0.98,-0.63)(7.72,0.57)
\psline[linewidth=0.04cm](7.72,0.55)(7.74,-0.63)
\rput(4.2454686,-0.96){x}
\rput(8.004219,0.2){b}
\rput(8.297344,2.2){a-b}
\end{pspicture}
}%}\)

Rozwiązanie tego problemu jest dość proste, wystarczy policzyć pochodną pewnej funkcji i mamy rozwiązanie (wychodzi dość ciekawy wynik). Zadanie jednak polega na tym, aby ten wynik uzyskać za pomocą narzędzi dostępnych dla ówczesnych matematyków. Powodzenia!

edit: usunąłem dane do googlowania

[arek1357]

Dla mnie dosyć niezrozumiałą rzeczą jest co znaczy "wydaje się najdłuższy".
Jak ja staję naprzeciw takiego odcinka to dla moich oczu tym odcinek większy im bliżej niego stoję.

[scyth]

arek1357 - przylep kartkę na ścianę i podejdź tuż pod nią, zobaczysz o co chodzi.

[Inkwizytor]

Obrazek wygasł
Pozwoliłem sobie na wykonanie rysunku pomocniczego. Chodzi (zapewne) o to by stwierdzić dla jakiego x wartość y jest maksymalna?

[scyth]

Chodzi o maksymalizację tangensa kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) (ale bez używania funkcji trygonometrycznych):

\(\displaystyle{ \fcolorbox{white}{white}{% {
\begin{pspicture}(0,-2.64)(9.099063,2.62)
\psline[linewidth=0.08cm,linecolor=red](7.12,2.58)(7.1,0.0)
\psline[linewidth=0.04cm](0.0,-2.16)(7.1,-2.16)
\psline[linewidth=0.04cm](0.02,-2.14)(7.12,0.04)
\psline[linewidth=0.04cm](0.04,-2.14)(7.14,2.6)
\psline[linewidth=0.04cm](7.1,0.04)(7.1,-2.16)
\psarc(0,-2.14){2}{17}{33}
\rput(7.8442187,-0.91){b}
\rput(8.240156,1.89){poprzeczka}
\rput(7.657344,1.21){a-b}
\rput(3.7654688,-2.49){x}
\rput(1.5454688,-1.29){$\alpha$}
\end{pspicture}
}}\)

[arek1357]

AA chodzi po prostu o to żeby kąt alfa był jak największy-- 2 stycznia 2012, 15:10 --trzeba badać funkcję: z tw cosinusów

\(\displaystyle{ cos( \alpha )= \frac{x^{2}+ab}{ \sqrt{x^{2}+a^{2}} \sqrt{x^{2}+b^{2}}}}\)

[Inkwizytor]

ale chodzi o rozwiązanie bez użycia funkcji trygonometrycznej

Mi wyszło bez uzycia funkcji trygonometrycznych \(\displaystyle{ x= \frac{a+b}{2}}\)
Czy to poprawny wynik?
Co zresztą wyjaśnia dlaczego podano dane w ten sposób a nie po prostu długość poprzeczki jako np.: \(\displaystyle{ d}\)

[scyth]

To nie jest prawidłowa odpowiedź.

arek1357 - przekombinowałeś.

[arek1357]

A czemu przekombinowałem wyliczyłem w zależności od odległości od ściany rozwartość kąta
i trzeba badać minimum tej funkcji bo wiadomo tym kąt większy im cosinus mniejszy

[Inkwizytor]

W XV wieku nie było tw. cosinusów i nikt nie marzył jeszcze o rachunku pochodnych-- 2 sty 2012, o 18:01 --Poza tym to zadanie można też zrobic z tangensa różnicy kątów ale właśnie sęk w tym żeby je ugryźć bez tego

[arek1357]

W sumie to ja im współczuję że nie znali cosinusów

[Inkwizytor]

arek
Funkcje trygonometryczne same w sobie są znane od starożytności. Istotą rzeczy jest "twierdzenie cosinusów"

[scyth]

timon92 - to jakie jest rozwiązanie?

[timon92]

detale:

Ukryta treść:    

Oznaczmy punkty jak na rysunku. Jeździmy sobie punktem \(\displaystyle{ D}\) i pytamy się kiedy wartość \(\displaystyle{ \alpha}\) jest największa. Kreślimy okrąg o średnicy \(\displaystyle{ BC}\). Punkt \(\displaystyle{ E}\) jest przecięciem prostej \(\displaystyle{ DB}\) z tym okręgiem.



\(\displaystyle{ \angle CEB = \frac \pi 2}\) bo jest oparty na średnicy. Ponadto \(\displaystyle{ \angle CAD = \frac \pi 2}\), więc punkty \(\displaystyle{ CEAD}\) leżą na okręgu (to zielone coś na rysunku symbolizuje okrąg). Wobec tego \(\displaystyle{ \angle EAC = \alpha}\). Jest jasne, że \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie największe, gdy \(\displaystyle{ AE}\) będzie styczne do tamtego okręgu.

Więc rozważmy ten optymalny przypadek (przypadkiem dałem inne oznaczenia, już mi się nie chce edytować rysunku).



\(\displaystyle{ \angle AED = \angle ACD = \angle BDA}\) (kąty wpisane, dopisane czy coś takiego), zatem z równoramienności i z potęgi punktu mamy \(\displaystyle{ AE = AD = \sqrt{AB\cdot AC} = \sqrt{ab}}\)

[scyth]

Gratulacje