Istnienie funkcji

[Hirakata]

Załóżmy, że \(\displaystyle{ f}\) jest różniczkowalna i dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ y}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = g(x,y)x^a}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = g(x,y)y^a}\). Jak wykazać, że musi istnieć funkcja \(\displaystyle{ h(x^{a+1}+y^{a+1})=f(x,y)}\)?

[szw1710]

Na razie nie wiem, ale małą burzę mózgów proponuję. Nawet najdziwniejsze i niepoprawne pomysły mogą doprowadzić do właściwego rozwiązania.

Mianowicie z tego, co piszesz, mamy natychmiast warunek

\(\displaystyle{ x^{-\alpha}\frac{ \partial f(x,y)}{ \partial x}=y^{-\alpha}\frac{ \partial f(x,y)}{ \partial y}\,,}\)

co eliminuje nam funkcję \(\displaystyle{ g(x,y).}\) Mi się jakoś kojarzy warunek potencjałowy typu tw. Greena, z którego mielibyśmy istnienie czegoś w stylu potencjału.

Milej wygląda (po przemnożeniu obu stron przez \(\displaystyle{ x^{\alpha}y^{\alpha}}\)):

\(\displaystyle{ y^{\alpha}\frac{ \partial f(x,y)}{ \partial x}=x^{\alpha}\frac{ \partial f(x,y)}{ \partial y}\,.}\)

[micholak]

Wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ f}\) jest stała na rozmaitości \(\displaystyle{ x^{\alpha+1} + y^{\alpha +1} = c}\)

[Hirakata]

Jak wykazać ciągłość i ewentualną różniczkowalność tej funkcji?