[Nierówności] Kilka nierówności

[slepy_01]

Jako że 2 etap za pasem wrzucam trochę nierówności :
1) Liczby dodatnie \(\displaystyle{ a_1,a_2,a_3,...,a_n,b>0}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ a_1+a_2+a_3+...+a_n=1}\)
Wykaż że
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n}(b+\frac{1}{a_i}) \geq (b+n)^n}\)
2) Łatwiejsza wersja zadania poprzedniego \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) oraz \(\displaystyle{ a+b+c=1}\) Wykaż, że
\(\displaystyle{ (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})\geq 64}\)
3)\(\displaystyle{ a,b,c>0}\). Wykaż że
\(\displaystyle{ \frac{a^3}{b^2} + \frac{b^3}{c^2} + \frac{c^3}{a^2}\geq a+b+c}\) Od razu zastrzegam że nie interesuje mnie rozwiązanie z ciągów jednomonotonicznych

[adamm]

Ukryta treść:    

1. Jensen dla \(\displaystyle{ f(x)=\ln \left(b+\frac{1}{x}\right)}\)
2. b=1
3. \(\displaystyle{ \frac{a^3}{b^2}+b+b\ge 3a}\) i cyklicznie

pozderki