Ciąg Arytmetyczny i Geometryczny - Zadania

[Merol93]

Witam, chciałbym na samym początku podkreślić, że jestem całkowicie zielony oraz niedouczony. Nie znam podstawowych wzorów i chciałbym, żeby ktoś na spokojnie mi wytłumaczył, a nie po prostu rozwiązał za mnie zadania poniżej.

1. Wyznacz liczby \(\displaystyle{ x, y}\) tak, aby ciąg \(\displaystyle{ (97, x, y, 52)}\) był arytmetyczny.
2. Dany jest ciąg (\(\displaystyle{ a_{n}) = (50, 41, 32,...,)}\) Oblicz \(\displaystyle{ a_{13}}\) i \(\displaystyle{ S_{12}}\).
3. Oblicz sumę liczb naturalnych 3-cyfrowych podzielnych przez 6 i mniejszych od 200.
4. W ciągu geometrycznym \(\displaystyle{ a_{2}=15, a_{5}=405}\). Wyznacz ten ciąg.
5. Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wyraża się wzorem: \(\displaystyle{ S_{n}=10( 2^{n}-1)}\). Oblicz \(\displaystyle{ a^{6}}\).
6. W ciągu geometrycznym \(\displaystyle{ (a_{n})}\) są dane:
\(\displaystyle{ a_{2}=-1, q=-2}\). Oblicz sumę czterech kolejnych początkowych wyrazów tego ciągu.
7. W ciągu geometrycznym \(\displaystyle{ q=2}\), suma 8 początkowych wyrazów jest równa 765. Wyznacz a.
8. W ciągu arytmetycznym \(\displaystyle{ a_{3}=16}\) i \(\displaystyle{ a_{8}=31}\). Wyznacz ten ciąg.
9. Boki trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 7. Obwód trójkąta jest równy 60. Oblicz boki trójkąta.
10. Ciąg (\(\displaystyle{ -4; x; x+ \frac{3}{4})}\) jest geometryczny. Wyznacz liczbę x.

[Lbubsazob]

Zaczynamy od 1. Żeby ciąg \(\displaystyle{ a,b,c}\) był arytmetyczny, musi zachodzić \(\displaystyle{ b-a=c-b}\). Musisz więc rozwiązać taki układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y-x=x-97 \\ 52-y=y-x \end{cases}}\)
Jeśli nie będziesz miał z tym zadaniem problemów, przejdziemy dalej.

[Merol93]

Zastanawiałem się czy odpisać, bo wstyd, że nawet tego nie potrafię, ale ktoś musi mi to wytłumaczyć. Nie będę zwalał na fakt, iż jestem 100% humanistą, to raczej wina nauczyciela, który dosłownie nie powinien pracować w szkole technicznej...

A więc - czemu zachodzi taka zależność? Skoro widzę cztery liczby to czemu Ty, tylko trzy bierzesz pod uwagę? Nie mam pojęcia jak rozwiązać to równanie - po prostu już kompletnie nie pamiętam...

[miodzio1988]

Nie będę zwalał na fakt, iż jestem 100% humanistą

Tja. Taki z Ciebie humanista jak ze mnie finalista OM.

Jak nie umiesz rozwiązać prostego układu równań to wpisz układ równań w google i będziesz wszystko miał. Do książki też ciężko zerknąć nie?

[Lbubsazob]

Czemu w ciągu arytmetycznym zachodzi taka zależność? Kolejne wyrazy ciągu to \(\displaystyle{ a_1,a_1+R,a_1+2R,a_1+3R,a_1+4R,\ldots}\), czyli każdy następny wyraz różni się od poprzedniego o różnicę \(\displaystyle{ R}\). Zauważ, że jeśli odejmiemy dwa jakieś kolejne wyrazy, to otrzymamy tę różnicę:
\(\displaystyle{ a_2-a_1=a_1+R-a_1=R \\
a_3-a_2=a_1+2R-(a_1+R)=R \\
a_4-a_3=a_1+3R-(a_1+2R)=R \\ \ldots}\)
a więc wynika z tego, że \(\displaystyle{ a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3=\ldots}\)
Tak więc w ciągu arytmetycznym \(\displaystyle{ a,b,c}\) musi zachodzić \(\displaystyle{ b-a=c-b}\) i to jest równe różnicy tego ciągu.

Co do rozwiązania układu równań, z pierwszego równania wyznacz jedną ze zmiennych, np. \(\displaystyle{ y}\) i wstaw do drugiego, by otrzymać równanie z jedną niewiadomą.

[Merol93]

\(\displaystyle{ \begin{cases} y-x=x-97 \\ 52-y=y-x \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=2x-97 \\ 52-y=y-x \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=2x-97 \\ 52-2x+97=2x-97-x \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=2x-97 \\ -3x=-246 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=2x-97 \\ x=82 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=164-97 \\ x=82 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=67 \\ x=82 \end{cases}}\)


Jednak nie jestem taki ułomny xD. Co dalej :>?

//edit
Poprawione .

[loitzl9006]

No ułomny nie jesteś, ale w trzeciej klamerce od góry masz błąd.

Wyznaczyłeś sobie \(\displaystyle{ y}\) z pierwszego równania. \(\displaystyle{ y=2x-97}\) OK.

ale jak wstawiasz to do drugiego równania to należy zauważyć, że

\(\displaystyle{ -y = - \left( 2x-97\right) = -2x \red + \black 97}\) a nie \(\displaystyle{ -2x-97}\)

Popraw to a potem przedstaw wyniki - sprawdzimy.

[Merol93]

Poprawione .

[anna_]

Teraz jest dobrze.

2. Dany jest ciąg (\(\displaystyle{ a_{n}) = (50, 41, 32,...,)}\) Oblicz \(\displaystyle{ a_{13}}\) i \(\displaystyle{ S_{12}}\).

\(\displaystyle{ a_1=50\\a_2=41\\a_3=32}\)

Zauważyłeś jakąś zależność między wyrazami tego ciągu?

Mogę podpowiedzieć, że kolejne wyrazy to: \(\displaystyle{ 23,14,5,...}\)

[Merol93]

Nie musisz podpowiadać, nie jestem ułomny - przynajmniej nie tak bardzo . Kolejne wyrazy tego ciągu różnią się o 9.

[nieAlfa_nieOmega]

w tych zadaniach zazwyczaj trzeba ocenić czy to jest ciąg arytmetyczny czy geometryczny.
jeżeli wyrazy ciągu różnią się o jakąś liczbę(wszystkie o tą samą) to jest to ciąg arytmetyczny
np:
ciąg \(\displaystyle{ ( 2,5,8,11,...)}\) ma różnicę \(\displaystyle{ r=3}\) bo \(\displaystyle{ r= 5-2=8-5 = 3}\)
ciąg \(\displaystyle{ (21, 19,17,15,...)}\) ma różnicę \(\displaystyle{ r=19-21=17-19=-2}\)

a jeżeli kolejne wyrazy ciągu powstają przez potocznie mówiąc mnożenie przez tą sama liczbę to mamy ciąg geometryczny, w którym musimy wyznaczyć iloraz ciągu geometrycznego \(\displaystyle{ q}\)
np:
ciąg \(\displaystyle{ (2,8,32..)}\): \(\displaystyle{ q= \frac{8}{2} = \frac{32}{8}=4}\)

jak już sklasyfikujemy jaki to rodzaj ciągu musimy użyć odpowiednich wzorów żeby rozwiązać zadanie

do ciągu arytmetycznego przydadzą się:

wzór na \(\displaystyle{ n}\)-ty wyraz ciągu
\(\displaystyle{ a_n=a_{1}+(n-1) \cdot r}\)

wzór na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
\(\displaystyle{ S_{n}= \frac{a_{1}+a_{n}}{2} \cdot n}\)

i jeszcze ważne:

jeżeli liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego to zachodzi warunek:

\(\displaystyle{ b-a=c-b \ \ \hbox{inaczej ujmując}\ b= \frac{a+c}{2}}\)

-- 22 gru 2011, o 22:22 --

więc w zadaniu 2 po kolei:
- wyznacz różnicę ciągu \(\displaystyle{ r}\)
- oblicz \(\displaystyle{ n}\)-ty wyraz ciągu gdy \(\displaystyle{ n=13}\)
- oblicz \(\displaystyle{ n}\)-ty wyraz ciągu dla \(\displaystyle{ n=12}\)
- i oblicz sumę 12tu początkowych wyrazów tego ciągu

wszystko w oparciu o wzory które podałam wyżej

[Merol93]

Opierając się na wzorze:

\(\displaystyle{ a_n=a_{1}+(n-1) \cdot r}\)

\(\displaystyle{ a_1_3=50+(13-1) \cdot -9}\)

\(\displaystyle{ a_1_3=-58}\)

\(\displaystyle{ a_1_2=50+(12-1) \cdot -9}\)

\(\displaystyle{ a_1_2=-49}\)

A tutaj nie wiem czy dobrze podstawiam:

\(\displaystyle{ S_{n}= \frac{a_{1}+a_{n}}{2} \cdot n}\)

\(\displaystyle{ S_{13}= \frac{50-58}{2} \cdot 13}\)

\(\displaystyle{ S_{13}=-52}\)

//Edit
Dodałem to w kalkulatorze. Dobrze policzyłem. Dziękuję za pomoc i przepraszam, że tyle nie odpisywałem, ale święta były itd. Możemy przejść do kolejnych zadań ?

[Lbubsazob]

Zad. 3
Zauważ, że liczby podzielne przez \(\displaystyle{ 6}\) można zapisać w postaci \(\displaystyle{ 6a}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest dowolną liczbą całkowitą. W zadaniu masz obliczyć sumę liczb naturalnych, czyli pierwszym wyrazem będzie \(\displaystyle{ 6}\) (nawet jak \(\displaystyle{ 0}\) traktujesz jako liczbę naturalną, to to nic nie zmienia), a ostatnim \(\displaystyle{ 198}\). Wyrazów jest \(\displaystyle{ 33}\) (bo \(\displaystyle{ 33 \cdot 6=198}\)), wystarczy zatem podstawić do wzoru na sumę...

[Merol93]

Nie mam pojęcia jak to rozwiązać.

[Lbubsazob]

\(\displaystyle{ S_n= \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n \\
a_1=6 \\ a_n=198 \\ n=33}\)