Przestrzenie zerowymiarowe

[grape]

Dlaczego przestrzeń Cantora \(\displaystyle{ 2^{n}}\) jest przestrzenią zerowymiarową? Może ktoś to udowodnić?

[Spektralny]

Jeżeli \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą skończoną, to przestrzeń \(\displaystyle{ \{0,1\}^n}\) jest skończoną przestrzenią Hausdorffa, a więc jest ona dyskretna (tj. wszystko jest jednocześnie i domknięte i otwarte). W ogólnym przypadku kostka Cantora

\(\displaystyle{ \{0,1\}^\lambda}\)

jest zero-wymiarowa ponieważ standardowa baza przestrzeni produktowej składa się ze zbiorów domknięto-otwartych. Mam tu na myśli bazę złożoną ze zbiorów postaci

\(\displaystyle{ \prod_{\alpha<\lambda}U_\alpha}\)

gdzie \(\displaystyle{ U_\alpha}\) jest niepustym zbiorem otwartym w \(\displaystyle{ \{0,1\}}\) (tj. \(\displaystyle{ U_\alpha\in \{\{0\}, \{1\}, \{0,1\}\}}\)) oraz zbiór \(\displaystyle{ \{\alpha<\lambda\colon U_\alpha\neq \{0,1\}\}}\) jest skończony.

[grape]

A jak udowodnić, że każda przestrzeń zero-wymiarowa jest przestrzenią Tichonowa?

[Ein]

Nie da się, bo to nie prawda. Rozważ przykład przestrzeni dwupunktowej z topologią trywialną.

[Spektralny]

Topologia antydyskretna (trywialna) spełnia warunek \(\displaystyle{ T_{3\frac{1}{2}}}\), więc wszystko rozbija się o definicje. Rzeczywiście, jeżeli \(\displaystyle{ X}\) jest wyposażona w topologię antydyskretną oraz \(\displaystyle{ x\in X}\), to nie istnieje niepusty zbiór domknięty, rozłączony z \(\displaystyle{ \{x\}}\). Wynika stąd, że warunek rozdzielania zbiorów domkniętych od punktów jest spełniony w próżni.

To o co pyta autor wątku jest prawdziwe pod założeniem, że przestrzenie-zero wymiarowe są koniecznie \(\displaystyle{ T_1}\). W tym wypadku można je dość łatwo zanurzyć w kostce Cantora \(\displaystyle{ \{0,1\}^\lambda}\), gdzie \(\displaystyle{ \lambda}\) jest gęstością rozważanej przestrzeni. Oczywiście podprzestrzenie przestrzeni Tichonowa są Tichonowa. Coś podobnego prawdziwe jest również w drugą stronę - każda całkowicie regularna przestrzeń mocy mniejszej niż \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\) jest zero-wymiarowa.

[Ein]

No właśnie, problemem są definicje. Czasami w definicji aksjomatu Tichonowa dodaje się warunek, że przestrzeń ma być T1, a czasami nie. Jeżeli więc przyjmiemy taką definicję (tj. z T1), to każda przestrzeń nieT1 zerowymiarowa będzie kontrprzykładem.

[Spektralny]

Dyskusja założenia \(\displaystyle{ T_1}\) jest przedstawiona tutaj:



Swoją drogą, Engelking definiuje przestrzeń zero-wymiarową jako przestrzeń \(\displaystyle{ T_1}\), która ma bazę złożoną ze zbiorów domknięto-otwartych.

Wydaje się, że jest to powszechna praktyka:
... al&f=false

[grape]

Właśnie brałam pod uwagę definicję Engelkinga.
Tak nawiasem fajna ta książka
... al&f=false

[grape]

Mam jeszcze pytanie.
Jeśli chciałabym z definicji przestrzeni Tichonowa udowodnić, że przestrzeń zero-wymiarowa jest Tichonowa to jaka istnieje funkcja ciągła oddzielająca punkty od zbiorów domkniętych?

[Spektralny]

Czy jasne jest, że każda przestrzeń zero-wymiarowa \(\displaystyle{ T_1}\) spełnia warunek \(\displaystyle{ T_3}\)? Jeżeli tak, to niech \(\displaystyle{ x}\) będzie punktem w przestrzeni zero-wymiarowej \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ F\subseteq X\setminus\{x\}}\) będzie zbiorem domkiętym. Z regularności \(\displaystyle{ X}\) wynika, że istenieje otwarte otoczenie \(\displaystyle{ U}\) punktu \(\displaystyle{ x}\) rozłączne z \(\displaystyle{ F}\). Każdy punkt przestrzeni zero-wymiarowej ma bazę w punkcie złożoną ze zbiorów domknięto-otwartych, więc istnieje domknięto-otwarte otoczenie \(\displaystyle{ V}\) punktu \(\displaystyle{ x}\) zawarte w \(\displaystyle{ U}\).

Funkcja \(\displaystyle{ \mathbf{1}_V}\) załatwia sprawę.

[grape]

Wiem wiem, że spełnia warunek T3. Ośmiele się jeszcze spytać co oznacza symbol \(\displaystyle{ \mathbf{1}_V}\) ?
Oraz czy nie może być taka funkcja jak np:
Jeśli istnieje baza przeliczalna \(\displaystyle{ \mathcal{B}~=~\{U_i\}^\infty_{i=1}}\) to funkja \(\displaystyle{ f_i}\) jest określona wzorem
\(\displaystyle{ f_i(x)~=~ \begin{cases} 1, \ dla\ x\in U_i \\ 0, \ dla\ x\in X \setminus U_i \end{cases}}\)
dla każdego \(\displaystyle{ i}\)

[Spektralny]

Ale tutaj jest określone przelczalnie wiele funkcji \(\displaystyle{ f_i}\)? Symbol \(\displaystyle{ \mathbf{1}_V}\) oznacza funkcję charakterystyczną zbioru \(\displaystyle{ V}\). Jest ona ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ V}\) jest domknięto-otwarty.

[grape]

No mi się wydaje, że tak. I tak się zastanawiam czy by taka funkcja też nie mogła być. Tylko czy ona jest ciągła się zastanawiam

[Spektralny]

Funkcja charakterystyczna zbioru jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jest on domknięto-otwarty. Ma ona tylko dwie wartości, więc wystarcza policzyć przeciwobrazy zbiorów \(\displaystyle{ \{0\}}\) i \(\displaystyle{ \{1\}}\), ale te są domknięte w tym przypadku (tj. gdy sam zbiór jest domknięto-otwarty).

[grape]

A jak pokazać, że iloczyn kartezjański liczb niewymiernych oraz iloczyn kartezjański liczb wymiernych są zerowymiarowe, bez korzystania z twierdzenia o iloczynie kartezjańskim dla wymiaru zero ?