Całka nieoznaczona wielomian przez pierwiastek

Genius432 · Post autor: **Genius432** » 27 gru 2011, o 18:20

Witam, mam problem z zadankiem, które na pierwszy rzut oka wydaje się proste:

\(\displaystyle{ \int\frac{2x^2-x-5}{\sqrt{x^2-2x}}}\) Całkowanie przez części wydaje się tutaj bezcelowe?? Próbowałem przez podstawienie ale ta potęga pod pierwiastkiem trochę przeszkadza

sdamian · Post autor: **sdamian** » 27 gru 2011, o 18:23

podpowiedź:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2}=|x|}\)

Genius432 · Post autor: **Genius432** » 27 gru 2011, o 18:29

Znam tą zależność ale nic mi to nie mówi. Zrobiłeś może to? jaką metodą?-- 27 gru 2011, o 19:05 --Jeśli ktoś wie co z tym zrobić to prosiłbym chociaż o jakąś wskazówkę, ja po prostu nie wiem jak to ruszyć, a gdy zna się metodę, specjalnych trudności pewnie nie ma.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 27 gru 2011, o 19:15

Genius432, co podstawiałeś ?

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2-2x}=t-x\\
\sqrt{x^2-2x}=xt}\)

Genius432 · Post autor: **Genius432** » 27 gru 2011, o 22:29

Próbowałem obu opcji i nic z tego :/

Psiaczek · Post autor: **Psiaczek** » 27 gru 2011, o 23:00

Zauważamy że :

\(\displaystyle{ \frac{d}{dx}\left[ (ax+b) \sqrt{x^2-2x}\right] =a \sqrt{x^2-2x}+ \frac{(ax+b)(x-1)}{ \sqrt{x^2-2x}}= \frac{a(x^2-2x)+(ax+b)(x-1)}{ \sqrt{x^2-2x}}= \frac{2ax^2+(b-3a)x-b}{ \sqrt{x^2-2x}}}\)

trzeba więc będzie wstawić \(\displaystyle{ a=1,b=2}\) , wtedy dwa pierwsze człony się zgodzą , a ogonek czyli

\(\displaystyle{ 3\int_{}^{} \frac{dx}{ \sqrt{x^2-2x}}}\) oddzielnie policzyć. Takie połowiczne współczynniki nieoznaczone

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 27 gru 2011, o 23:28

Psiaczek, tak ale "ten ogonek" też trzeba jakoś policzyć

On najwyraźniej czeka na gotowiec albo co mniej prawdopodobne nie umie podstawiać
jeśli mu podałem podstawienia a on nadal twierdzi że "nic z tego"

Genius432, pokaż jak podstawiasz

Zastosuj podstawienie

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2-2x}=t-x}\)

ponieważ pasuje ono nieco lepiej niż podstawienie

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2-2x}=xt}\)

ale obydwa podstawienia powinny sprowadzić całkę do całki z funkcji wymiernej

Psiaczek · Post autor: **Psiaczek** » 27 gru 2011, o 23:35

mariuszm pisze:Psiaczek, tak ale "ten ogonek" też trzeba jakoś policzyć

mariuszm, zgadza się , trzeba ogonek policzyć, ale uznałem, biorąc pod uwagę \(\displaystyle{ x^2-2x=(x-1)^2-1}\),
że sobie z areahiperbolicznych to policzy.Nie mówię że ten sposób jest najlepszy, po prostu chciałem pokazać jedną z dróg.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 28 gru 2011, o 09:45

Zastosuj podstawienie

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2-2x}=t-x}\)

ponieważ pasuje ono nieco lepiej niż podstawienie

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2-2x}=xt}\)

Genius432, podpowiedź dla epimeteuszy takich jak ty

Przedstaw x jako funkcję t i dopiero różniczkuj

Po zróżniczkowaniu wyraż pierwiastek jako funkcję t i wstaw wszytko do całki

Genius432 · Post autor: **Genius432** » 28 gru 2011, o 15:34

hmm Psiaczek Ciekawe podejście, ale funkcji areahiperbolicznych nie miałem

mariuszm nie musisz mnie obrażać tylko dlatego że jestem gorszy w całkach niż Ty. Dopiero zaczynam się ich uczyć więc mam prawo czegoś nie umieć, nie oczekuję gotowego rozwiązania, wolę się nauczyć rozwiązywania tego typu przykładów. Trochę kultury.

Nie wiem skąd wiemy jakiego dokonać podstawienia? Po podstawieniu \(\displaystyle{ \sqrt{x^2-2x}=t-x}\) wychodzi mi coś takiego: \(\displaystyle{ \int\frac{2x^2-x-5}{x-1+t}}\) Nie umiem w żaden sposób tego ruszyć Należało by pewnie wyznaczyć x z równania \(\displaystyle{ \sqrt{x^2-2x}=t-x}\) i podstawić do całki tak żeby zostały tylko zmienne t ale nie mam pojęcia jak to zrobić.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 28 gru 2011, o 16:19

Należało by pewnie wyznaczyć x z równania \(\displaystyle{ \sqrt{x^2-2x}=t-x}\) i podstawić do całki tak żeby zostały tylko zmienne t

Genius432, właśnie to trzeba zrobić
Zanim zaczniesz bawić się całkami przypomnij sobie jak się przekształcało równania
Powinieneś sobie przypomnieć pewne rzeczy z podstawówki bo inaczej dużo całek nie policzysz

Post autor: **loitzl9006** » 28 gru 2011, o 16:33

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2-2x}=t-x \\ x+ \sqrt{x^2-2x} = t \\ x ^{2} -2x = t ^{2} - 2tx + x ^{2} \\ -2x= t ^{2} - 2tx \\ 2tx - 2x = t ^{2} \\ x\left( 2t-2 \right) = t ^{2} \\ x= \frac{t ^{2} }{2t-2} \\ \mbox{d}x = \frac{2t \cdot \left( 2t-2 \right) - t ^{2} \cdot 2 }{\left( 2t-2 \right) ^{2} } \mbox{d}t \\ \int \frac{dx}{ \sqrt{x^2-2x}} = \\ = \int \frac{\frac{2t \cdot \left( 2t-2 \right) - t ^{2} \cdot 2 }{\left( 2t-2 \right) ^{2} }}{ t - \frac{t ^{2} }{2t-2}} \mbox{d}t = \\ = \int \frac{ \frac{2t ^{2} -4t }{4t ^{2} -8t+4} }{ \frac{t ^{2} - 2t }{2t-2} } \mbox{d}t = \\ = \int \frac{ \left( 2t ^{2} - 4t \right) \left( 2t-2 \right) }{\left( 4t ^{2} -8t+4\right) \left( t ^{2} - 2t \right) } \mbox{d}t = \\ = \int \frac{4t ^{3} -12t ^{2} +8t }{4t ^{4} -16t ^{3} + 20t ^{2} - 8t } \mbox{d}t = \\ = \int \frac{4t ^{2} -12t +8 }{4t ^{3} -16t ^{2} + 20t - 8 } \mbox{d}t = \\ = \int \frac{t ^{2} -3t +2 }{t ^{3} -4t ^{2} + 5t - 2 } \mbox{d}t}\)

Korzystamy z tego, że
\(\displaystyle{ t ^{3} -4t ^{2} + 5t - 2 = \left( t-2 \right) \left( t-1 \right) ^{2}}\)

i rozkładamy na ułamki proste

\(\displaystyle{ \frac{t ^{2} -3t +2 }{t ^{3} -4t ^{2} + 5t - 2 } = \frac{A}{t-2} + \frac{B}{t-1} + \frac{C}{\left( t-1 \right) ^{2} } \\ \frac{t ^{2} -3t +2 }{\left( t-2 \right) \left( t-1 \right) ^{2}} = \frac{A}{t-2} + \frac{B}{t-1} + \frac{C}{\left( t-1 \right) ^{2} } \\ t ^{2} - 3t + 2 = \left( t-1 \right)\left( t-2 \right) \\ \frac{\left( t-1 \right)\left( t-2 \right)}{\left( t-2 \right) \left( t-1 \right) ^{2}} = \frac{A}{t-2} + \frac{B}{t-1} + \frac{C}{\left( t-1 \right) ^{2} } \\ \frac{1}{ t-1 } = \frac{A}{t-2} + \frac{B}{t-1} + \frac{C}{\left( t-1 \right) ^{2} } \\ \begin{cases} A=0 \\ B=1 \\ C=0 \end{cases} \\ \int \frac{t ^{2} -3t +2 }{t ^{3} -4t ^{2} + 5t - 2 } \mbox{d}t = \\ = \int \frac{1}{t-1} \mbox{d}t = \\ = \ln \left| t-1 \right| + C = \\ = \ln \left| x+ \sqrt{x ^{2} -2x } - 1 \right| + C}\)

Genius432 · Post autor: **Genius432** » 28 gru 2011, o 17:44

Dziękuję za pomoc. Jeszcze jedno. Skąd wiemy że trzeba zastosować to podstawienie \(\displaystyle{ \sqrt{x^2-2x}=t-x}\) a nie np to \(\displaystyle{ \sqrt{x^2-2x}=t}\)

Post autor: **loitzl9006** » 28 gru 2011, o 17:51

Bo w przypadku podstawienia \(\displaystyle{ \sqrt{x^2-2x}=t}\) przy podnoszeniu obustronnym do kwadratu zostanie Ci niechciane \(\displaystyle{ x ^{2}}\), a jak zastosujesz podstawienie \(\displaystyle{ \sqrt{x^2-2x}=t-x}\) wtedy \(\displaystyle{ x ^{2}}\) się redukuje i można jednoznacznie wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\) w zależności od nowej zmiennej \(\displaystyle{ t}\) .

mkacz · Post autor: **mkacz** » 28 gru 2011, o 19:19

Genius - to co inni Ci proponują, te podstawienia z pierwiastkami to się zwie "podstawienia Eulera", rzecz bardzo przydatna w takich przypadkach, gdy masz trójmian pod pierwiastkiem i jeszcze jakiś inny wielomian. Przydatna, bo jak tu pokazano sprowadza Ci całkę z pierwiastkiem do całki wymiernej (wielomian/wielomian).