Rozkład wielomianu na czynniki liniowe

[BartekA]

Witam, jak w temacie:
\(\displaystyle{ w=x^4-4x^3-3x^2-1}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\)
Czy możecie mi wytłumaczyć co dokładnie oznacza \(\displaystyle{ \mathbb{Z} _{5}}\) i jak rozwiązywać takie przykłady?
Z góry dziękuję za pomoc.
Pozdrawiam!

[Timopumba]

\(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5=\left\{ 0,1,2,3,4\right\}}\) jest to po prostu zbiór liczb całkowitych.

[BartekA]

Bardzo dziękuję za odpowiedź, ale niestety zbyt wiele mi nie pomogła.
Może źle sprecyzowałem pytanie: do czego to \(\displaystyle{ \mathbb{Z} _{5}}\) jest mi potrzebne i jak rozwiązać to zadanie?
\(\displaystyle{ W(0) \neq 0}\) ;\(\displaystyle{ W(1) \neq 0}\) ; \(\displaystyle{ W(2) \neq 0}\) ; \(\displaystyle{ W(3) \neq 0}\); \(\displaystyle{ W(4) \neq 0}\)
Jak znaleźć pierwiastki do rozwiązania tego wielomianu?
Pozdrawiam!-- 31 gru 2011, o 00:56 --Czy można liczyć na pomoc?

[Tomek_Z]

Skoro ten wielomian nie ma pierwiastków, to nie da się go rozłożyć w ten sposób by był iloczynem wielomianów, z których przynajmniej jeden jest stopnia \(\displaystyle{ 1}\) . W takim razie, jeśli jest rozkładalny to tylko na iloczyn dwóch wielomianów stopnia \(\displaystyle{ 2}\). Wielomian taki jest postaci \(\displaystyle{ (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)}\). Po wymnożeniu i przyrównaniu odpowiednich współczynników dostaniemy układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+c=-4 \\ b+d+ac=-3 \\ ad+bc=0 \\ bd=-1 \end{cases}}\).

W zależności od rozwiązań tego układu, bądź ich braku, wnioskujemy o rozkładalności wielomianu.