Granica wielu zmiennych

[makuu]

Czy taka granica: \(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to\(0,0)} \frac{1}{x^2+y^2}}\) jest równa plus nieskończoności? Zdaje się że tak, a w wolframie wyskakuje że nie istnieje

Czy można (w zasadzie odnosi się to do poprzedniego tematu jaki założyłem co do granic wielu zmiennych, ale chciałbym się upewnić) przyjąć dowolny ciąg \(\displaystyle{ y_n \rightarrow 0}\) oraz \(\displaystyle{ x_n<0}\) następnie dla dowolnego ciągu \(\displaystyle{ y_n \rightarrow 0}\), przyjmujemy \(\displaystyle{ x_n>0}\), gdzie oczywiście \(\displaystyle{ x_n \rightarrow 0}\) i w ten sposób rozpatrując i wykazując że granica w każdym z tych przypadku jest taka sama, stwierdzić, że sprawdziliśmy wszystkie możliwe ciągi \(\displaystyle{ c_n=(x_n,y_n)}\) więc z definicji Heinego granica równa jest tyle i tyle (w tym wypadku, jak mi się wydaję, \(\displaystyle{ + \infty}\))?

[wszamol]

Musisz to z definicji liczyć? Bo jeśli nie, to najłatwiej przejść na współrzędne biegunowe i od razu dostaniesz wynik.

[makuu]

Nie wiem nie umiem tego robić z współrzędnych biegunowych. Chciałem tylko znać odpowiedź, czy \(\displaystyle{ + \infty}\) jest tutaj rozwiązaniem?

[wszamol]

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1}{x^2+y^2}=\left|\begin{array}{ccc}x=r\cos \alpha \\y=r\sin \alpha \\r \to 0 \end{array}\right|= \lim_{r \to 0} \frac{1}{r ^{2} } = + \infty}\)