Witam,
Jak można udowodnić, że brzeg zbioru liczb wymiernych jest zbiorem liczb rzeczywistych? Innymi słowy dlaczego:
\(\displaystyle{ \mathrm{bd} \ \mathbb{Q}=\mathbb{R}}\)
Wydaje mi się to bardzo nieintuicyjne.
Z góry dzięki.
Radek
Brzeg zbioru liczb wymiernych
-
- Użytkownik
- Posty: 51
- Rejestracja: 8 maja 2005, o 21:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
Brzeg zbioru liczb wymiernych
Ostatnio zmieniony 26 gru 2011, o 22:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Brzeg zbioru liczb wymiernych
A jaką przyjmujesz definicję brzegu?
Jeśli np. \(\displaystyle{ \mathrm{bd} \; A = \mathrm{cl} \; A \setminus \mathrm{int} \; A,}\) to wystarczy udowodnić, że każda liczba rzeczywista należy do domknięcia \(\displaystyle{ \mathbb Q,}\) ale żadna nie należy do jego wnętrza.
Jeśli np. \(\displaystyle{ \mathrm{bd} \; A = \mathrm{cl} \; A \setminus \mathrm{int} \; A,}\) to wystarczy udowodnić, że każda liczba rzeczywista należy do domknięcia \(\displaystyle{ \mathbb Q,}\) ale żadna nie należy do jego wnętrza.
-
- Użytkownik
- Posty: 51
- Rejestracja: 8 maja 2005, o 21:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
Brzeg zbioru liczb wymiernych
Przyznam, że muszę się nad tym troszkę zastanowić zatem i odświerzyć swoją (jakże okazuje się nikłą) wiedzę z podstaw matematyki... Masz rację, że w tym przypadku co piszesz dowód będzie chyba dość prosty, muszę go tylko spróbować przelać na papier:) Aczkolwiek za dalsze sugestie będę wdzięczny:)
-
- Użytkownik
- Posty: 1358
- Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 222 razy
Brzeg zbioru liczb wymiernych
W każdym otoczeniu każdej liczby rzeczywistej istnieje liczba wymierna, stąd każda liczba rzeczywista należy do domknięcia zbioru liczb wymiernych. (\(\displaystyle{ \Rightarrow\text{cl}\ \mathbb{Q}=\mathbb{R}}\))
W każdym otoczeniu każdej liczby rzeczywistej istnieje liczba niewymierna, stąd żaden zbiór otwarty nie zawiera się w zbiorze liczb wymiernych. (\(\displaystyle{ \Rightarrow\text{int}\ \mathbb{Q}=\emptyset}\))
W każdym otoczeniu każdej liczby rzeczywistej istnieje liczba niewymierna, stąd żaden zbiór otwarty nie zawiera się w zbiorze liczb wymiernych. (\(\displaystyle{ \Rightarrow\text{int}\ \mathbb{Q}=\emptyset}\))