Rozpatrywanie przypadków przy ciągach wielowymiarowych-Heine

[makuu]

Czy badając granicę funkcji wielu zmiennych, np dla dwóch zmiennych \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), przyjmując dowolny ciąg \(\displaystyle{ a_n=(x_n,y_n)}\) gdzie \(\displaystyle{ a_n \rightarrow 0}\) taki że \(\displaystyle{ x_n \rightarrow 0}\) oraz \(\displaystyle{ y_n \rightarrow 0}\), aby zbadać WSZYSTKIE możliwe przypadki, tzn wszystkie możliwe \(\displaystyle{ x_n}\) i \(\displaystyle{ y_n}\) przy badaniu granicy funkcji w punkcie \(\displaystyle{ p_0=(0,0)}\) wystarczy że zbada się następująco:
1. Dla \(\displaystyle{ x_n=0}\) lub \(\displaystyle{ y_n=0}\), oczywiście bez sytuacji że oba te ciągi są równe zero
2. Dla różnych od zera- ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) dążący do 0+ a \(\displaystyle{ y_n}\) do 0+, potem to samo tylko \(\displaystyle{ y_n}\)dąży do 0-, potem \(\displaystyle{ x_n}\)dąży do 0- i \(\displaystyle{ y_n}\) dąży do 0+ potem to samo tylko \(\displaystyle{ y_n}\) dąży do 0- ?

Czy to są wszystkie przypadki z definicji Heinego jakie musiałbym rozpatrzyć, aby móc udowadniać że granica istnieje i jest równa jakieś tam g?

Chodzi mi o to że co z ciągami które mają zarówno dodatnie jak i ujemne wyrazy zbliżające się do 0; takie ciągi przecież nie dążą ani do 0- ani do 0+, no chyba że dzieląc je odpowiednio. Dla funkcji jednej zmiennej sprawa jest prosta; z definicji wiadomo że wystarczy policzyć wszystkie te \(\displaystyle{ x_n<x_0}\), oraz \(\displaystyle{ x_n>x_0}\), czyli \(\displaystyle{ x_n \rightarrow 0-}\)i \(\displaystyle{ x_n \rightarrow 0+}\); i tutaj nie trzeba się przejmować ciągami które mogłyby mieć i ujemne i dodatnie wyrazy.

Wydaję mi się, że z Heinego rozpatrywanie \(\displaystyle{ x_n<x_0}\) i \(\displaystyle{ x_n>x_0}\) jest równoważne rozpatrywaniu wszystkich ciągów \(\displaystyle{ x_n}\), stąd w ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) chcąc rozpatrzeć wszystkie możliwe \(\displaystyle{ x_n i y_n}\) wystarczy że rozpatrzę analogicznie: wszystkie \(\displaystyle{ x_n<x_0}\) i \(\displaystyle{ x_n>x_0}\)oraz \(\displaystyle{ y_n<x_0}\)i \(\displaystyle{ y_n>x_0}\) czyli rozpatrzę tak jak to podałem w przykładzie o który się pytam

Mógłby mi ktoś udzielić tej odpowiedzi, jak należy rozpatrywać wszystkie przypadki, czy można w ten sposób jak to podałem rozpatrywać? Dzięki z góry za odpowiedź.

[norwimaj]

Chodzi mi o to że co z ciągami które mają zarówno dodatnie jak i ujemne wyrazy zbliżające się do 0; takie ciągi przecież nie dążą ani do 0- ani do 0+, no chyba że dzieląc je odpowiednio.

Jeżeli ciąg posiada nieskończenie wiele wyrazów dodatnich, jak i ujemnych, to wtedy można go rozbić na dwa podciągi. Wtedy oba podciągi kwalifikują się do jakichś przypadków. W całym tym rozumowaniu ważne jest, że przypadków musi być skończenie wiele. Rozumowanie opiera się na twierdzeniu, że jeśli jakiś ciąg rozbijemy na skończenie wiele podciągów, i każdy z nich dąży do tej samej granicy, to wówczas wyjściowy ciąg też dąży do tej granicy.

[makuu]

Tak, tylko czy dla tych dwóch podciągów zbieżnych do tej samej granicy, granica funkcji \(\displaystyle{ f(x_n)}\) dla każdego z tych podciągów jest taka sama jak dla tego ciągu; a nawet jeśli, to czy wystarcza to aby nie sprawdzać granicy dla tego ciągu, czy po prostu sprawdzenie granicy funkcji dla takich podciągów wystarcza aby móc nie sprawdzać granicy funkcji dla tego ciągu; tak jak to jest dla funkcji jednej zmiennej z Heinego, gdzie bierzemy dwa przypadki, że \(\displaystyle{ x_n<x_0}\), tzn \(\displaystyle{ x \rightarrow x_0-}\) i analogicznie dla przeciwnego znaku.

Mi się wydaję że z tego że dla dowolnych ciągów takich że \(\displaystyle{ x_n>x_0}\) i \(\displaystyle{ x_n<x_0}\) jeśli granica lewostronna i prawostronna są równe to są równe granicy obustronnej wynika, że przy granicy wielu zmiennych jeśli dla dowolnego \(\displaystyle{ y_n}\) i \(\displaystyle{ x_n<x_0}\) granica równa się \(\displaystyle{ g}\) i dla dowolnego \(\displaystyle{ y_n}\) i \(\displaystyle{ x_n>x_0}\) granica też równa się \(\displaystyle{ g}\), to granica ogólna też wynosi \(\displaystyle{ g}\) a dobór tych ciągów dowolnych takich że \(\displaystyle{ x_n>x_0}\) i \(\displaystyle{ x_n<x_0}\) i dla nich dowolnych ciągów takich że\(\displaystyle{ y_n>y_0}\) i \(\displaystyle{ y_n<y_0}\) jest wystarczający, aby powiedzieć że definicja Heinego jest spełniona.

Tak wnioskuję na podstawie rozumowania w definicji dla funkcji jednej zmiennej, gdzie ciąg może mieć i wyrazy dodatnie i ujemne, a my wystarczy że rozpatrzymy ciągi mniejsze od punktu w którym liczymy granicę, oraz ciągi większe od tegoż.

[Psiaczek]

makuu ,nie ma niestety wielowymiarowego analogu twierdzenia jednowymiarowego "jeśli istnieje granica lewostronna , granica prawostronna i są sobie równe to istnieje granica"

Powodem mówiąc krótko jest to że w tych wymiarach "dużo miejsca" powstaje na różnorodne sposoby dążenia do zera.
W książkach znajdziesz przykłady funkcji dwóch zmiennych , takich, że na przykład granica w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) istnieje jeśli dążymy tam po dowolnej prostej, a mimo to granica nie istnieje ( bo może się psuć gdy zbiegamy po paraboli czy innej wymyślnej drodze)

[norwimaj]

Spróbuję tym razem jaśniej napisać.

Załóżmy, że badamy granicę funkcji \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\). Niech \(\displaystyle{ X\setminus\{x_0\}=X_1\cup X_2\cup\ldots\cup X_k}\). Jeśli dla każdego \(\displaystyle{ i\in\{1,2,\ldots,k\}}\) i dla każdego ciągu \(\displaystyle{ x_n}\) o wyrazach zawartych w \(\displaystyle{ X_i}\) takiego że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}x_n=x_0}\) zachodzi \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f(x_n)=g}\), to \(\displaystyle{ g}\) jest granicą funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\).

Oznacza to, że dzielenie na przypadki jest dozwolone, pod warunkiem że tych przypadków jest skończenie wiele. W przykładzie, o którym wspomniał Psiaczek, dlatego to twierdzenie nie działa, bo linii prostych przechodzących przez dany punkt jest nieskończenie wiele.

[makuu]

Czy w takim razie można w ten sposób policzyć granicę funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_0=(0,0)}\) takiej że \(\displaystyle{ f(x)= \frac{e ^{x^3+y^3}-1 }{x^3+y^3}}\):

Mamy policzyć dla dowolnych \(\displaystyle{ x_n \rightarrow 0}\), \(\displaystyle{ y_n \rightarrow 0}\), granicę \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{e ^{x_n^3+y_n^3}-1 }{x_n^3+y_n^3}}\)

Niech \(\displaystyle{ u=x^3+y^3}\), bierzemy dowolny ciąg \(\displaystyle{ u_n=x_n^3+y_n^3}\), wiedząc że dla dowolnych ciągów \(\displaystyle{ x_n}\) i \(\displaystyle{ y_n}\) jest \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} u_n=0}\) podstawiamy:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{e^{u_n}-1}{u_n}}\), czyli liczymy \(\displaystyle{ \lim_{u\to\ 0} \frac{e^{u}-1}{u}}\) i następnie liczymy dla \(\displaystyle{ u \rightarrow 0-}\) potem dla \(\displaystyle{ u \rightarrow 0+}\)

Wydaję mi się że można w ten sposób to zrobić, bo \(\displaystyle{ u_n}\) to nie jest tutaj ciąg punktów, ale ciąg liczb złożonych z sumy wyrazów sześcianów dowolnych ciągów \(\displaystyle{ x_n}\) i \(\displaystyle{ y_n}\)

[norwimaj]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{e^{u_n}-1}{u_n}}\), czyli liczymy \(\displaystyle{ \lim_{u\to\ 0} \frac{e^{u}-1}{u}}\) i następnie liczymy dla \(\displaystyle{ u \rightarrow 0-}\) potem dla \(\displaystyle{ u \rightarrow 0+}\)

Można tak zrobić, chociaż nie widzę powodów, dla których chcesz tak zrobić, bo obie granice jednostronne liczy się w tym wypadku tak samo.

[makuu]

Tak jak podejrzewałem to ja miałem rację. Ze sprawdzonego źródła dowiedziałem się, że tak właśnie można, np dla funkcji 2 zmiennych. Mamy sprawdzić czy dla dowolnego ciągu \(\displaystyle{ c_n=(x_n,y_n)}\) zbieżnego do \(\displaystyle{ c_0=(x_0,y_0)}\), granica ciągu \(\displaystyle{ f(c_n)}\) zbiega zawsze do tej samej wartości.

Dla dowolnych ciągów \(\displaystyle{ x_n \rightarrow x_0}\) i \(\displaystyle{ y_n \rightarrow y_0}\) rozpatrujemy następująco:

Dla ciągu \(\displaystyle{ x_n}\) różnego od \(\displaystyle{ x_0}\) i \(\displaystyle{ y_n=y_0}\), potem \(\displaystyle{ x_n=x_0}\) a \(\displaystyle{ y_n}\) różny od \(\displaystyle{ y_0}\), następnie dla obu ciągów takich że \(\displaystyle{ x_n \neq x_0}\) i \(\displaystyle{ y_n \neq y_0}\)rozpatrujemy na ćwiartkach układu współrzędnych, dla \(\displaystyle{ x_n \rightarrow x_0-}\) i \(\displaystyle{ y_n \rightarrow y_0+}\), dla \(\displaystyle{ x_n \rightarrow x_0-}\) i \(\displaystyle{ y_n \rightarrow y_0-}\), następnie dla \(\displaystyle{ x_n \rightarrow x_0+}\) i \(\displaystyle{ y_n \rightarrow y_0-}\) i \(\displaystyle{ x_n \rightarrow x_0+}\) i \(\displaystyle{ y_n \rightarrow y_0+}\). Dowolna krzywa może przechodzić przez kilka ćwiartek, a nie tylko przez jedną, ale jako że jest zbieżna do \(\displaystyle{ c_0}\) więc w pewnym małym przedziale musi dążyć już tylko po jednej ćwiartce- czyli traktujemy to jako podciąg, tak jak w funkcji jednej zmiennej choć ciąg może mieć nieskończenie wiele ujemnych i dodatnich wyrazów, to wystarczy że zbadamy jego podciągi; ten zbieżny od ujemnej strony osi do punktu i ten zbieżny od dodatniej strony.

Co do Waszych odpowiedzi; dzięki, ale tak jak podejrzewałem, cały czas chyba nie do końca mnie rozumieliście, w każdym razie ze sprawdzonego źródła wiem, że takie rozpatrzenie przypadków jest jak najbardziej poprawne; tzn że jeśli wszystkie te przypadki byśmy rozpatrzyli i funkcja zbiegałaby dla każdego z nich do jednej i tej samej granicy, to jest to równoznaczne ze sprawdzeniem wszystkich dowolnych ciągów zbieżnych do \(\displaystyle{ x_0}\), czyli z Heinego jest to udowodnienie, że ciąg jest zbieżny do danej granicy.

[Psiaczek]

Dowolna krzywa może przechodzić przez kilka ćwiartek, a nie tylko przez jedną, ale jako że jest zbieżna do \(\displaystyle{ c_0}\) więc w pewnym małym przedziale musi dążyć już tylko po jednej ćwiartce- .

Kłamstwo.Do punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) można dążyć po spirali, cały czas przechodząc przez wszystkie ćwiartki.

[norwimaj]

Co do Waszych odpowiedzi; dzięki, ale tak jak podejrzewałem, cały czas chyba nie do końca mnie rozumieliście, w każdym razie ze sprawdzonego źródła wiem, że takie rozpatrzenie przypadków jest jak najbardziej poprawne;

A mnie się wydaje, że nie chciało Ci się dokładnie przeczytać, bo napisałem że rozpatrywanie przypadków jest poprawne. Aczkolwiek dotyczy to tylko sytuacji gdy przypadków jest skończenie wiele.

[makuu]

norwimaj, co to znaczy że "gdy przypadków jest skończenie wiele?" Tu cały czas roztrząsam czy można wziąć te 6 przypadków; najpierw jeden z ciągów ciągu dwuwymiarowego jest równy zero, potem oba są różne od zera z tymże dążą od różnej strony do \(\displaystyle{ x_0}\) i \(\displaystyle{ y_0}\)

Tak, tutaj źle napisałem, może być po spirali, z tymże wydaję mi się że jest to analogiczne do definicji Heinego dla jednej zmiennej; nie musimy rozpatrywać ciągu o nieskończenie wielu wyrazach i dodatnich i ujemnych, dążącego na zmianę; wystarczy że rozpatrzymy wszystkie ciągi dążące od lewo i wszystkie od prawo- czyli wśród tych ciągów będą podciągi tego ciągu przemiennego. Wydaję mi się że analogicznie jest w przypadku funkcji wielu zmiennych. W przypadku dwóch zmiennych to są po prostu ciągi punktów, gdzie mogą dążyć te punkty nawet naprzemiennie w 4 ćwiartkach, ale zawsze można nie brać takiego ciągu pod uwagę, ale wziąć jego podciągi po ćwiartce.

Trzeba to jeszcze przemyśleć ale wydaję mi się że jest to analogiczne do definicji Heinego rozpatrywanej w funkcji jednej zmiennej.

[norwimaj]

norwimaj, co to znaczy że "gdy przypadków jest skończenie wiele?" Tu cały czas roztrząsam czy można wziąć te 6 przypadków; najpierw jeden z ciągów ciągu dwuwymiarowego jest równy zero, potem oba są różne od zera z tymże dążą od różnej strony do \(\displaystyle{ x_0}\) i \(\displaystyle{ y_0}\)

Tak, \(\displaystyle{ 6}\) to jest skończenie wiele. Ogólnie chodzi o to, że możesz te przypadki ponumerować liczbami naturalnymi z pewnego ograniczonego przedziału. W tym wypadku poszczególne przypadki możesz ponumerować liczbami \(\displaystyle{ 1,2,3,4,5,6}\). Przykładem zbioru nieskończonego jest zbiór linii prostych na płaszczyźnie, przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\).

Tak, tutaj źle napisałem, może być po spirali, z tymże wydaję mi się że jest to analogiczne do definicji Heinego dla jednej zmiennej; nie musimy rozpatrywać ciągu o nieskończenie wielu wyrazach i dodatnich i ujemnych, dążącego na zmianę;

Co innego definicja, a co innego twierdzenie. Definicja Heinego mówi o dowolnych ciągach \(\displaystyle{ x_n\ne x_0}\), takich że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}x_n=x_0}\). Dopiero twierdzenie mówi, że zamiast tego w przypadku jednowymiarowym wystarcza równość granic jednostronnych.

[makuu]

Jeśli już to nie "wystarcza", ale jest konieczne. Poza tym chyba cały czas nie rozumiesz o czym tutaj ja pisałem; cały czas pisałem czy można wziąć skończoną liczbę przypadków, w tym wypadku te 6 przypadków które dokładnie określiłem, aby móc powiedzieć, że sprawdziliśmy wszystkie możliwe wypadki (których de facto jest nieskończenie wiele) z definicji Heinego i ciąg \(\displaystyle{ f(c_n)}\) jest zbieżny dla każdego z nich do tej samej granicy.

Tak jak pisałem, ja uważam że sprawdzenie tych 6 przypadków jest równoważne ze sprawdzaniem jakiegokolwiek ciągu/krzywej (którą także można określić jako ciąg) zbieżnego do \(\displaystyle{ c_0}\).

[norwimaj]

Jeśli już to nie "wystarcza", ale jest konieczne.

Funkcja \(\displaystyle{ f:(a,b)\to\mathbb{R}}\) ma granicę w punkcie \(\displaystyle{ x_0\in(a,b)}\), równą \(\displaystyle{ g}\), wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednie granice jednostronne istnieją i są równe \(\displaystyle{ g}\). Domyśliłem się jednak, że chodzi Ci przede wszystkim o implikację w lewo, bo napisałeś:

nie musimy rozpatrywać ciągu o nieskończenie wielu wyrazach i dodatnich i ujemnych, dążącego na zmianę; wystarczy że rozpatrzymy wszystkie ciągi dążące od lewo i wszystkie od prawo

Poza tym chyba cały czas nie rozumiesz o czym tutaj ja pisałem;

Przyznaję, że w pewnym momencie nabrałem wątpliwości, czy piszesz o definicji Heinego, czy o granicach jednostronnych. Nawet odniosłem wrażenie że utożsamiasz te dwie sprawy. Niestety moje możliwości percepcji pozwalają mi na przeczytanie tylko tego, co ludzie napisali, a nie co pomyśleli.

Tak jak pisałem, ja uważam że sprawdzenie tych 6 przypadków jest równoważne ze sprawdzaniem jakiegokolwiek ciągu/krzywej (którą także można określić jako ciąg) zbieżnego do \(\displaystyle{ c_0}\).

Uważam że nie musisz tego tyle razy powtarzać, zwłaszcza że już kilka razy napisałem że to stwierdzenie jest prawdziwe. Ewentualnie, jeśli mi nie wierzysz, to możesz napisać coś w stylu "Czy mógłby się wypowiedzieć ktoś inny niż norwimaj?".