dowód indukcyjny

[Sirkami]

Proszę o podpowiedź jak to ugryźć:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{n+i}\right) = \sum_{i=1}^{2n} \left( (-1)^{i+1} \frac{1}{i} \right)}\)

po wyjściu z lewej strony dla (n+1) i poprzesuwaniu indeksów doszedłem do:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{2n} \left( (-1)^{i+1} \frac{1}{i}\right) + \frac{1}{n+1+i} + \frac{1}{n+2+i} -\frac{1}{n+1}}\)

wie ktoś może co dalej lub jakiś inny sposób?

[norwimaj]

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{2n} \left( (-1)^{i+1} \frac{1}{i}\right) + \frac{1}{n+1+i} + \frac{1}{n+2+i} -\frac{1}{n+1}}\)

Raczej tak:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{2n} \left( (-1)^{i+1} \frac{1}{i}\right) + \frac{1}{n+1+n} + \frac{1}{n+2+n} -\frac{1}{n+1}}\)

[Sirkami]

no z takiej postaci to już wiadomo co dalej, ale czemu i=n?

mógłbyś mi to wyjaśnić czemu możemy tak podstawić, mam kłopot żeby ogarnąć sprawne liczenie ze znakiem sumy.

[Majeskas]

Ja bym to zrobił tak:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{n+1+i}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n+i}+ \frac{1}{2n+1}+ \frac{1}{2n+2}- \frac{1}{n+1}\stackrel{\textrm{zał.}}=\\
\\
\\
\stackrel{\textrm{zał.}}=\sum_{i=1}^{2n} \frac{(-1)^{i+1}}{i}+\frac{1}{2n+1}+ \frac{1}{2n+2}- \frac{1}{n+1}=\ldots}\)

Jak przekształcisz trzy ostatnie składniki sumy, dostaniesz wyrazy, które należy dodać do \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{2n} \frac{(-1)^{i+1}}{i}}\), aby otrzymać \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{2n+2} \frac{(-1)^{i+1}}{i}}\).-- 21 grudnia 2011, 21:05 --

no z takiej postaci to już wiadomo co dalej, ale czemu i=n?

mógłbyś mi to wyjaśnić czemu możemy tak podstawić, mam kłopot żeby ogarnąć sprawne liczenie ze znakiem sumy.

Najlepiej rozpisz sobie tę sumę, to powinieneś wszystko zobaczyć.

[Sirkami]

Majeskas właśnie rozpisałem wszystko rozumiem ale nie wiem skąd się wzięło że i=n?

[Majeskas]

Skoro wszystko rozpisałeś i nie rozumiesz, to ja nie rozumiem twojego nierozumienia. W takim razie rozpisz tutaj.

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n \frac{1}{n+i}}\) i \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{n+1+i}}\)

[norwimaj]

Sirkami, \(\displaystyle{ i}\) jest zmienną związaną ze znakiem sumy. Jeśli u Ciebie nagle pojawia się zmienna wolna \(\displaystyle{ i}\), to coś robisz nie tak.

[Sirkami]

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1}\left( \frac{1}{n+1+i} \right) = \sum_{i=2}^{n+2}\left( \frac{1}{n+i} \right) = \sum_{i=1}^{n}\left( \frac{1}{n+i} \right) + \frac{1}{n+1+i} + \frac{1}{n+2+i} - \frac{1}{n+1} = \sum_{i=1}^{2n}\left( (-1)^{i+1} \frac{1}{i} \right) + \frac{1}{n+1+i} + \frac{1}{n+2+i} - \frac{1}{n+1}}\)

[norwimaj]

\(\displaystyle{ \sum_{i=2}^{n+2}\left( \frac{1}{n+i} \right) = \sum_{i=1}^{n}\left( \frac{1}{n+i} \right) + \frac{1}{n+1+i} + \frac{1}{n+2+i} - \frac{1}{n+1}}\)

Właśnie ta równość jest błędna. Prawa strona jest pozbawiona sensu, bo nie wiadomo, co oznacza litera \(\displaystyle{ i}\) w dwóch przedostatnich składnikach.

[Majeskas]

Tak jak napisał Sirkami, symbol \(\displaystyle{ i}\) nie może się pojawić poza symbolem sumy, bo on służy jedynie do "przebiegania" po kolejnych wyrazach tej sumy. Rozpisz liczbę \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n \frac{1}{n+i}}\).

[Sirkami]

Kurcze no Ja was znakomicie rozumiem. Wiem że te dwa ostatnie wyrażenia nie mają sensu. Równie dobrze mógłbym sobie tam zacząć serduszka rysować zamiast tego "i", ale skąd wy tam wzieliście to "n"?

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n \frac{1}{n+i}= \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n}}\)

[Majeskas]

No ślicznie, to teraz spójrz na to:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{n+1+i}= \frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+ \frac{1}{2n+2}=\\=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+ \frac{1}{2n}+ \frac{1}{2n+1}+ \frac{1}{2n+2}- \frac{1}{n+1}=\\=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n+i}+ \frac{1}{2n+1}+ \frac{1}{2n+2}- \frac{1}{n+1}}\)

[Sirkami]

o właśnie wielkie dzięki!