nierówność indukcyjna

[prawyakapit]

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \ldots \cdot \frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}}\)

mam problem z drugim warunkiem

[Absx]

A rozpisz to zadanie to spróbuję Ci pomóć

[Sirkami]

Czy to będzie tak? :

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot .... \cdot \frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n+1}{2n+2} =
\frac{1}{ \sqrt{2n+1} }\cdot \frac{2n+1}{2n+2} < \frac{1}{ \sqrt{2n+1} } < \frac{1}{ \sqrt{2n+3} }}\)

co w zasadzie należało dowieść.

[anna_]

To będzie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot .... \cdot \frac{2k-1}{2k} \cdot \frac{2k+1}{2k+2} <
\frac{1}{ \sqrt{2k+1} }\cdot \frac{2k+1}{2k+2}}\)

[Sirkami]

anna_ racja znak pomyliłem, ale reszta ok?

[anna_]

Trzeba jeszcze udowodnić, że

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2k+1} }\cdot \frac{2k+1}{2k+2} <\frac{1}{ \sqrt{2k+3} }}\)

[Sirkami]

czemu używasz k i n? wiadomo, że:

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2n+1} }\cdot \frac{2n+1}{2n+2} < \frac{1}{ \sqrt{2n+1} }}\)

bo

\(\displaystyle{ \frac{2n+1}{2n+2} < 1}\)

A to:

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2n+1} } < \frac{1}{ \sqrt{2n+3} }}\)

wynika z monoticzności funkcji \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2n} }}\). Mianowicie jest ona malejąca, czyli każdy kolejny wyraz musi być mniejszy.

[anna_]

Bo uczono mnie, że założenie robi się dla \(\displaystyle{ n=k}\), a dowód dla \(\displaystyle{ n=k+1}\)

Poza tym od kiedy to
np:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{4} }< \frac{1}{ \sqrt{5} }}\)
?

[Sirkami]

dobrze słownie napisałem ale symbolu nie odwróciłem

[anna_]

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2k+1} }\cdot \frac{2k+1}{2k+2} <\frac{1}{ \sqrt{2k+3} }}\)

Obie strony są dodatnie, więc można je podnieść do kwadratu

\(\displaystyle{ \frac{(2k+1)^2}{(2k+1)(2k+2)^2} < \frac{1}{2k+3}}\)

\(\displaystyle{ \frac{2k+1}{(2k+2)^2} -\frac{1}{2k+3}<0}\)

\(\displaystyle{ \frac{(2k+1)(2k+3)-(2k+2)^2}{(2k+2)^2(2k+3)}<0}\)

Mianownik jest zawsze większy od zera, wystarczy rozwiązać nierówność:
\(\displaystyle{ (2k+1)(2k+3)-(2k+2)^2<0}\)

[Sirkami]

i gdy wyjdzie że dla k należy do N to kończy dowód?

[anna_]

Tak

[Sirkami]

wielkie dzięki dałbym "pomógł", ale nie ja zakładałem temat.