Mam problem z takimi zadaniami:
Niech A będzie macierzą kwadratową. Udowodnij, że:
a) jeżeli \(\displaystyle{ A^2-A+I=0}\), to A jest nieosobliwa i \(\displaystyle{ A^{-1}=I-A}\);
b) jeżeli \(\displaystyle{ A^k=0}\), to \(\displaystyle{ (I-A)^{-1}=I+A+A^2+...+A^{k-1}}\) (dla \(\displaystyle{ k \ge 1}\)) .
Jakie są możliwe wartości wyznacznika macierzy rzeczywistej A stopnia n, jeżeli:
a) \(\displaystyle{ A^2=A^T}\) ;
b) \(\displaystyle{ A^T-A^{-1}=0}\) ;
c) \(\displaystyle{ A^2+A^{-1}=0}\) ?
Pozdrawiam i z góry dziekuję za każdą pomoc.-- 19 gru 2011, o 13:08 --Drugie zadanie udało mi się rozwiązać. Pozostaje więc tylko:
Niech A będzie macierzą kwadratową. Udowodnij, że:
a) jeżeli \(\displaystyle{ A^2-A+I=0}\), to A jest nieosobliwa i \(\displaystyle{ A^{-1}=I-A}\);
b) jeżeli \(\displaystyle{ A^k=0}\), to \(\displaystyle{ (I-A)^{-1}=I+A+A^2+...+A^{k-1}}\) (dla \(\displaystyle{ k \ge 1}\)) .
Odnoszę wrażenie, że cały problem polega na tym, że nie zauważam jakichś prostych własności macierzy.
Pozdrawiam.
