Zbieżność szeregów - zadania.

[ginga]

To mój kolejny dzień z analizą matematyczną i kolejne zadania, których nie umiem rozwiązać. Ładnie proszę o pomoc

1. Stosując kryterium porównawcze, zbadać zbieżność szeregów:
a) \(\displaystyle{ \sum_{ \infty }^{n=1} \frac{logn}{n^{2} \sqrt{n} }}\)
b) \(\displaystyle{ \sum_{ \infty }^{n=1} \frac{sin \frac{ \pi }{2^{n}} }{5^n}}\)
c) \(\displaystyle{ \sum_{ \infty }^{n=1} \frac{1}{n} tg \frac{1}{ \sqrt{n} }}\)

I tak jeszcze jedno pytanko: Czy są jakieś zasady/wskazówki, co by wiedzieć, do jakich przykładów stosować, które kryterium?

[octahedron]

\(\displaystyle{ a)\ \frac{\log n}{n^2\sqrt{n}}=\frac{\log n}{n}\cdot\frac{1}{n\sqrt{n}}<\frac{1}{n\sqrt{n}}=\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow \textbox{ zbie\dot{z}ny}\\
b)\ \frac{\sin \frac{ \pi }{2^{n}} }{5^n}<\frac{1}{5^n}\Rightarrow \textbox{ zbie\dot{z}ny}\\
c)\ \frac{1}{n} \tg \frac{1}{ \sqrt{n} }=\frac{1}{n\sqrt{n}}\cdot\frac{\tg\frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}}<\frac{2}{ n\sqrt{n} }=\frac{2}{n^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow \textbox{ zbie\dot{z}ny}\\}\)

[ginga]

Dziękuję za pomoc. Mam jeszcze pytanie odnośnie takiego zadanka, tym razem z Cauchy'ego.
a) \(\displaystyle{ \frac{1}{(\ln{n})^{n}}}\)

[miodzio1988]

I jakie to pytanie masz?

[ginga]

Co z tym fantem zrobić? Wyszło mi tylko coś takiego
\(\displaystyle{ (\ln{n})^{-n}}\)

Będę wdzięczna za wskazówki jeszcze do takiego zadania, tu po prostu w polecaniu jest "zbadaj zbieżność szeregów".

b) \(\displaystyle{ n^{2}\sin{ \frac{2}{n}} \tg{ \frac{5}{n}}}\)
tu udało mi się porównać z góry, korzystając z tego, że
\(\displaystyle{ \sin{n} < n < \tg{n}}\)

[miodzio1988]

Co tym fantem zrobić? Bardzo konkretne pytanie. Nauczyć się działań na potęgach

[ginga]

Fakt, głupie pytanie Już mnie oświeciło a co z tym sinus/tangens?

[miodzio1988]

b) proponuje kr ilorazowe