Obliczanie transformaty Z z definicji problem z sumą szeregu

[xlodder]

Witam mam z definicji wyznaczyć transformatę n * u(n)
Więc mam szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } n * z^{-n}}\)
Wychodzi coś takiego
\(\displaystyle{ 0 + \frac{1}{z} + \frac{2}{z^{2}} + \frac{3}{z^{3}} + \frac{4}{z^{4}} ...}\)
Jak zsumować taki szereg ?
w wyniku ma wyjść \(\displaystyle{ \frac{ z^{-1}}{(1-z^{-1})^2 }}\)
Znam wzory na iloraz (q) czyli \(\displaystyle{ q= \frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{a_{3}}{a_{2}}}\)
oraz sumę \(\displaystyle{ S= \frac{1}{1-q}}\) tutaj nie mogę znaleźć tego ilorazu może ktoś pomoże?
Trzeba jakoś ten szereg przekształcać, rozwijać, użyć jakiegoś prawa, zależności, skorzystać z jakiegoś wzoru? Wszelkie wskazówki mile widziane.

Pozdrawiam serdecznie, z góry dziękuje

[BettyBoo]

Wskazówka: skorzystaj z twierdzenia o różniczkowaniu szeregu.

Pozdrawiam.

[xlodder]

Jeżeli mógłbym prosić o jakieś dobre internetowe źródło wiedzy na ten temat właśnie? Ewentualnie jakiś podręcznik godny uwagi?
Posiadam Analizę Matematyczną TOM I i TOM II Włodarskiego oraz F. Leja Rachunek Różniczkowy i Całkowy - tam znajdę przystępnie opisany ten sposób?

Niestety szeregi miałem omówione w bardzo wąskim zakresie i chciałbym to wszystko poznać przed samym wykonaniem zadania.
Najlepiej jakbym jeszcze widział jakiś gotowy przykład krok po kroku bo tylko tak mi jakoś udaje wszystko załapać.

Pozdrawiam serdecznie i dziękuje za odpowiedź.

-- 20 grudnia 2011, 20:04 --

Różniczkując raz otrzymałem \(\displaystyle{ n^{2} \cdot z^{-n-1}}\)
Drugi raz \(\displaystyle{ n^{2} \cdot (n+1) \cdot z^{-n-2}}\)

Ani z tego ani z tego nie potrafię nadal policzyć tego q. Jest ktoś w stanie mnie jeszcze bardziej naprowadzić na poprawne rozwiązanie?

[grzesiekjy]

Cześć, co prawda od czasu wystawienia tego problemu na forum minęło już trochę czasu, jednak możliwe, ze w dalszym ciągu ktoś poszukuje rozwiązania takiego zadania.

TRANSFORMATA Z - definicja:

\(\displaystyle{ F(z)=Z[ f _{n} ]= \sum_{n=0}^{ \infty} f_{n} \cdot z ^{-n}}\)

I sposób, przy wykorzystaniu twierdzenia o różniczkowaniu szeregu potęgowego:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } n \cdot z ^{-n} = -z \sum_{n=0}^{ \infty } -n \cdot z ^{-n-1} = -z \sum_{n=0}^{ \infty } \left( z ^{-n} \right) ' =
-z \left( \frac{z}{z-1} \right) ' = -z \frac{\left( z-1\right) - z}{\left( z-1\right) ^{2} }= \frac{z}{\left( z-1\right) ^{2} }}\)

II sposób, dla tych, którzy nie ogarniają tego powyżej ;P:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } n \cdot z ^{-n} = 0 \cdot z ^{0}+1\cdot z ^{-1}+2\cdot z ^{-2}+3\cdot z ^{-3}+4\cdot z ^{-4}+ ... +}\)

\(\displaystyle{ z ^{-1}+2z ^{-2}+3z ^{-3}+4z ^{-4}+ ... +}\)

\(\displaystyle{ z ^{-1}+z ^{-2}+z ^{-3}+z ^{-4}+...+ = z ^{-1}\left( 1+z ^{-1}+z ^{-2}+z ^{-3}+z ^{-4}+...+\right)}\)
\(\displaystyle{ ..........z ^{-2}+z ^{-3}+z ^{-4}+...+ = z ^{-2}\left( 1+z ^{-1}+z ^{-2}+z ^{-3}+z ^{-4}+...+\right)}\)
\(\displaystyle{ ....................z ^{-3}+z ^{-4}+...+ = z ^{-3}\left( 1+z ^{-1}+z ^{-2}+z ^{-3}+z
^{-4}+...+\right)}\)
\(\displaystyle{ ...............................z ^{-4}+...+ = z ^{-4}\left( 1+z ^{-1}+z ^{-2}+z ^{-3}+z ^{-4}+...+\right)}\)

\(\displaystyle{ 1+z ^{-1}+z ^{-2}+z ^{-3}+z ^{-4}+...+ \rightarrow}\) jest to szereg potęgowy, który liczymy ze zbioru na sumę szeregu geometrycznego \(\displaystyle{ \Rightarrow \frac{a _{1} }{1-q}}\)
czyli po podstawieniu mamy: \(\displaystyle{ \frac{1}{1-z ^{-1} } = \frac{1}{1- \frac{1}{z}}= \frac{1}{ \frac{z-1}{z} } = \frac{z}{z-1}}\)

\(\displaystyle{ z ^{-1}\left( 1+z ^{-1}+z ^{-2}+z ^{-3}+z ^{-4}+...+\right)=\frac{1}{z}\cdot \frac{z}{z-1}=\frac{1}{z-1}}\)
\(\displaystyle{ z ^{-2}\left( 1+z ^{-1}+z ^{-2}+z ^{-3}+z ^{-4}+...+\right)=\frac{1}{z ^{2} }\cdot \frac{z}{z-1}=\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{z-1}}\)
\(\displaystyle{ z ^{-3}\left( 1+z ^{-1}+z ^{-2}+z ^{-3}+z ^{-4}+...+\right)=\frac{1}{z ^{3} }\cdot \frac{z}{z-1}=\frac{1}{z ^{2} }\cdot\frac{1}{z-1}}\)
\(\displaystyle{ z ^{-4}\left( 1+z ^{-1}+z ^{2}+z ^{-3}+z ^{-4}+...+\right)=\frac{1}{z ^{4} }\cdot \frac{z}{z-1}=\frac{1}{z ^{3} }\cdot\frac{1}{z-1}}\)
(...)
\(\displaystyle{ \frac{1}{z-1}+\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{z-1}+\frac{1}{z ^{2} }\cdot\frac{1}{z-1}+\frac{1}{z ^{3} }\cdot\frac{1}{z-1}+\frac{1}{z ^{4} }\cdot\frac{1}{z-1}+..+\frac{1}{z ^{n}}\cdot\frac{1}{z-1}}\)
i wyciągamy przed nawias \(\displaystyle{ \frac{1}{z-1}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{z-1} \cdot \left( 1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z ^{2}}+\frac{1}{z ^{3} }+...+\frac{1}{z ^{n} }\right) = \frac{1}{z-1}\cdot\frac{z}{z-1} =\frac{z}{\left( z-1\right) ^{2} }}\)

[doper28]

Robię podobne zadanie, tylko że zamiast \(\displaystyle{ n}\), mam do policzenia transformatę z \(\displaystyle{ n^2}\)

Dochodzę do tego momentu, w którym kolega wyżej już prawie miał rozwiązanie, lecz nie wiem co dalej zrobić.

Mam takie coś:

\(\displaystyle{ \frac{1}{z-1} \cdot \left( 1+\frac{3}{z}+\frac{5}{z ^{2}}+\frac{7}{z ^{3} }+...+\right)}\)

Wiem, że odkopuję, ale bardzo podobne zadanie i liczę, że mi ktoś podpowie.