Zad.
Bez wyznaczania pierwotnej sprawdz, czy \(\displaystyle{ \omega}\) jest forma zupełna, \(\displaystyle{ \omega\left(x,y\right)=\left(3x^5+10xy\right)\,\text{d}x+\left(5x^2+3e^{y^2}\right)\,\text{d}y}\), i wyznaczyć pierwotną, jeśli jest to forma zupełna.
\(\displaystyle{ R^2}\)- zbiór gwiaździsty \(\displaystyle{ \ \Rightarrow \ \omega}\)-zupełna \(\displaystyle{ \ \iff \ \omega}\)- zamknięta
\(\displaystyle{ d\left( \omega\left(x,y\right)\right)=\left(\frac{\partial}{\partial y}\left(3x^5+10xy\right)\,\text{d}y\right) \wedge \,\text{d}x+ \left(\frac{\partial}{\partial x}\left(5x^2+3e^{y^2}\right)\,\text{d}x\right) \wedge \,\text{d}y= 10x\,\text{d}y \wedge \,\text{d}x- 10x\,\text{d}y \wedge \,\text{d}x=0 \\ \ \Rightarrow \omega -\hbox{zupełna} \ \Rightarrow \ \exist \eta \ \in \mathcal{F}^0\left(\mathbb{R}^2\right): \ d\eta= \omega}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial \eta}{\partial x}\,\text{d}x+\frac{\partial \eta}{\partial y}\,\text{d}y= y\,\text{d}x +x\,\text{d}y}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{\partial \eta}{\partial x}= 3x^5+10xy \\ \frac{\partial \eta}{\partial y}= 5x^2+3e^{y^2} \end{cases}}\)
Z pierwszego mamy, że \(\displaystyle{ \eta= \int \left( 3x^5+10xy \right)\,\text{d}x=\frac{1}{2}x^6+5x^2y+C\left(y\right)}\).
Podstawiając do drugiego dostajemy: \(\displaystyle{ 5x^2+C^\prime \left(y\right)=5x^2+3e^{y^2} \iff C^\prime \left(y\right)=3e^{y^2} \iff C\left(y\right) =\int3e^{y^2}\,\text{d}y}\)
I tej całki się nie da za bardzo się policzyć, i nie wiem co dalej mam zrobić, o ile w ogóle to co zrobiłem do tej pory jest dobrze.
Bardzo proszę o pomoc.
