Witam mam obliczyć taką granicę :
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{ 2^{ \sqrt{x+1} } }{ 2^{ \sqrt{x} } }}\)
Jak zabrać się do tego ?
Z góry dziękuję, Mo.
Granica ciągu - z pierwiastkiem w wykładniku
-
- Użytkownik
- Posty: 4672
- Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 124 razy
- Pomógł: 978 razy
Granica ciągu - z pierwiastkiem w wykładniku
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{ 2^{ \sqrt{x+1} } }{ 2^{ \sqrt{x} } }}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{ 2^{ \sqrt{x+1} } }{ 2^{ \sqrt{x} } }}\), gdyż \(\displaystyle{ x}\) jest stałą.
Natomiast jeśli miało być \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{ 2^{ \sqrt{x+1} } }{ 2^{ \sqrt{x} } }}\), to z praw działań na potęgach mamy:
\(\displaystyle{ \frac{ 2^{ \sqrt{x+1} } }{ 2^{ \sqrt{x} } }=2^{ \sqrt{x+1} -{ \sqrt{x} }}\)
Żeby policzyć granicę \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty }\left( \sqrt{x+1} -{ \sqrt{x}\right)}\) wystarczy pomnożyć to przez sprzężenie.
Natomiast jeśli miało być \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{ 2^{ \sqrt{x+1} } }{ 2^{ \sqrt{x} } }}\), to z praw działań na potęgach mamy:
\(\displaystyle{ \frac{ 2^{ \sqrt{x+1} } }{ 2^{ \sqrt{x} } }=2^{ \sqrt{x+1} -{ \sqrt{x} }}\)
Żeby policzyć granicę \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty }\left( \sqrt{x+1} -{ \sqrt{x}\right)}\) wystarczy pomnożyć to przez sprzężenie.
-
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
Granica ciągu - z pierwiastkiem w wykładniku
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{ 2^{ \sqrt{n+1} } }{ 2^{ \sqrt{n} } }=\lim_{n\to\infty}2^{ \sqrt{n+1}- \sqrt{n} } =\lim_{n\to\infty}2^{ \frac{\left( \sqrt{n+1}- \sqrt{n}\right) \left( \sqrt{n+1}+ \sqrt{n}\right) }{ \sqrt{n+1}+ \sqrt{n}} }= \\ =\lim_{n\to\infty}2^{ \frac{1}{ \sqrt{n+1}+ \sqrt{n}} }=2^0=1}\)