Odwrotna transformata Laplace'a

[KamienKamien]

Witam serdecznie.

Wiem, że na forum jest kilka tematów związanych z odwrotną transformatą Laplace'a, jednak jestem zupełnie zielony i nic mi one nie pomagają.

Za zadanie mam obliczyć ową odwrotną transformatę dla odpowiedzi skokowej układu o transmitancji Go równej:
\(\displaystyle{ \frac{2}{(1+0,3s)(1+0,00171s)(1+0,02166s)}}\)

Wiem, że za pewne jest to banalne, ale moje zdolności zdecydowanie przewyższa na chwilę obecną, dlatego prosiłbym o pomoc.

Pozdrawiam ; )

[cosinus90]

Rachunki banalne nie będą - rozłóż to na ułamki proste najpierw.

P.S. Czyżby automatyka z doktorem K. ?

[KamienKamien]

Ok, spróbuję z tym powalczyć.

P.S. Czyżby automatyka z doktorem K. ?

Dokładnie tak, automatyka z doktorem K. Bardzo specyficzny człowiek.

[cosinus90]

I pewnie jesteś na energetyce oj dość dość, ale trzeba go przeboleć - ja to robię już drugi rok z rzędu Tymczasem skończmy prywatę, pokaż potem co dostałeś.

[KamienKamien]

Ok powalczyłem trochę i doszedłem do postaci:

\(\displaystyle{ \frac{2,168}{1+0,3s}+\frac{0,00104}{1+0,00171s}-\frac{0,16904}{1+0,02166s}}\)

Co teraz powinienem zrobić, mając już taką postać?

[cosinus90]

Niestety rachunków Ci nie sprawdzę, wybacz ale to kosztuje zbyt wiele czasu i żmudnych rachunków, więc trzeba Ci uwierzyć na słowo.
Teraz zajrzyj do tablic transformat i weź tę funkcję, która tu najbardziej pasuje.

EDIT : Sprawdziłem Wolframem - dwa ostatnie ułamki nieznacznie się różnią w liczniku, sprawdź dobrze jeszcze raz i na początku nie przybliżaj za bardzo.

[KamienKamien]

Faktycznie za pierwszym razem miejscami za bardzo zaokrągliłem, po skorygowaniu, dostałem takie wyniki dla A, B i C:

\(\displaystyle{ \frac{2,16799}{1+0,3s}+\frac{0,00096}{1+0,00171s}-\frac{0,16895}{1+0,02166s}}\)

Najbardziej pasuje tutaj funkcja \(\displaystyle{ \frac{1}{s+a}}\) i z tego miałbym \(\displaystyle{ e^{-at}}\). Ale odnosząc to do mojego zadania np. dla \(\displaystyle{ \frac{2,16799}{1+0,3s}}\), nie wiem co mam zrobić z 0,3 znajdującymi się przy "s", bo rozumiem, że licznik mojego ułamka pojawiłby się jako \(\displaystyle{ 2,16799*}\)\(\displaystyle{ e^{-at}}\). Chyba, że błędnie rozumuję.


EDIT:
Ok, wydaje mi się, że znalazłem odpowiedź \(\displaystyle{ \frac{1}{as+1}}\) \(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ \frac{1}{a} e^{ \frac{-t}{a} }}\).

Stąd będę miał: \(\displaystyle{ \frac{2,16799}{0,3s+1}}\) \(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ \frac{2,16799}{0,3} e^{ \frac{-t}{0,3} }}\), dobrze rozumuję?


Ponadto mam wytyczną, że sugerowana końcowa uogólniona postać czasowa odpowiedzi układu, może być zapisana w postaci:
\(\displaystyle{ y(t)=A_{3} e^{ q_{3}t }+A_{2} e^{ q_{2}t }+A_{1} e^{ q_{1}t }+A_{0}}\)

[cosinus90]

Ok, wydaje mi się, że znalazłem odpowiedź \(\displaystyle{ \frac{1}{as+1} \rightarrow\frac{1}{a} e^{ \frac{-t}{a} }}\).

Dokładnie tak.


Obliczasz zatem odwrotną transformatę Laplace'a z każdego ułamka i przedstawiasz końcowy wynik tak, jak nakazano w zadaniu.

[alek160]

A jednak muszę dodać swoje trzy grosze.
Najpierw cytat,

Ponadto mam wytyczną, że sugerowana końcowa uogólniona postać czasowa odpowiedzi układu, może być zapisana w postaci ...

W sugerowanej końcowej postaci występuje stały składnik \(\displaystyle{ A _{0}}\). W Twoim rozwiązaniu nie wystąpi składnik \(\displaystyle{ A _{0}}\). Popełniłeś błąd na samym początku.
Kolejny cytat:

Za zadanie mam obliczyć ową odwrotną transformatę dla odpowiedzi skokowej układu o transmitancji Go równej ...

Musisz wyznaczyć odpowiedź obiektu o transmitancji \(\displaystyle{ G _{0}}\) na skok jednostkowy \(\displaystyle{ \eta (t) = A _{0} \cdot 1(t)}\)
Zatem prawidłowy jest zapis,

\(\displaystyle{ G (s) = \frac{A _{0} }{s} \cdot G _{0}(s)}\)

Po rozwiązaniu powyższego wyrażenia w dziedzinie czasu otrzymasz sugerowaną postać odpowiedzi.
Sposób rozwiązania; rozkład na ułamki proste, metoda Residuum albo wzór Heaviside'a.

Pozdrawiam.

[KamienKamien]

Musisz wyznaczyć odpowiedź obiektu o transmitancji \(\displaystyle{ G _{0}}\) na skok jednostkowy \(\displaystyle{ \eta (t) = A _{0} \cdot 1(t)}\)
Zatem prawidłowy jest zapis,

\(\displaystyle{ G (s) = \frac{A _{0} }{s} \cdot G _{0}(s)}\)

Po rozwiązaniu powyższego wyrażenia w dziedzinie czasu otrzymasz sugerowaną postać odpowiedzi.

Czyli, jeżeli jestem w stanie odczytać z wykresu odpowiedź obiektu na skok jednostkowy - która u mnie wynosi 0,66666. To po prostu podstawiam to od razu do wzoru

\(\displaystyle{ G (s) = \frac{A _{0} }{s} \cdot G _{0}(s)}\)

gdzie \(\displaystyle{ G _{0}(s)}\) wynosi u mnie: \(\displaystyle{ \frac{2}{(1+0,3s)(1+0,00171s)(1+0,02166s)}}\)

Czyli ostateczna postać wyglądałaby:

\(\displaystyle{ G(s) = \frac{0,66666}{s} \cdot \frac{2}{(1+0,3s)(1+0,00171s)(1+0,02166s)}}\)

i obliczam tak jak poprzednio czyli np. za pomocą ułamków prostych.


Zgadza się?

[alek160]

Jeśli liczba (0.66666) jest wartością funkcji wyjściowej obiektu w stanie ustalonym, to masz błąd.
Dla ułatwienia, napiszę końcowy wzór ze zmienionymi nazwami zmiennych - bardziej książkowo.

\(\displaystyle{ Y(s)=U(s) \cdot G _{0}(s)}\)

gdzie:

Y(s) - oznacza funkcję wyjściową obiektu. Poprzednio niefortunnie napisałem G(s).
\(\displaystyle{ U(s)= \frac{U _{0} }{s}}\) - funkcja pobudzająca. Ona zwykle stoi po prawej stronie równania różniczkowego, które opisuje dynamikę obiektu.
\(\displaystyle{ U _{0}}\) - jest to wartość skoku jednostkowego na wejściu obiektu, a nie na wyjściu, jak napisałeś. Być może moje \(\displaystyle{ A _{0}}\) Ciebie zmyliło.
\(\displaystyle{ G _{0}}\) - transmitancja obiektu.

Popchniemy sprawę do przodu, jeśli mi potwierdzisz, że istotnie liczba (0.66666) jest odpowiedzią obiektu w stanie ustalonym.

Pozdrawiam.

[KamienKamien]

Zgadza się, mój błąd, w takim razie.
W moim przypadku:
\(\displaystyle{ U _{0} = 1}\) - wartość zadana
\(\displaystyle{ Y(s)=0,66666}\) - wartość odpowiedzi skokowej w stanie ustalonym

[alek160]

Podałeś sprzeczne warunki w odniesieniu do pierwotnie sformułowanego zadania.

1. Jeśli przyjmiemy, że zadanie dotyczy badania odpowiedzi transmitancji \(\displaystyle{ G _{0}(s)}\) na skok jednostkowy \(\displaystyle{ \frac{U _{0} }{s}}\), wówczas przy znanej odpowiedzi obiektu w stanie ustalonym \(\displaystyle{ (0.66666)}\), uwzględniając wzmocnienie obiektu \(\displaystyle{ k=2}\) podane w liczniku transmitancji \(\displaystyle{ G _{0}(s)}\), wartość \(\displaystyle{ U _{0}}\) skoku jednostkowego musi być:

\(\displaystyle{ U _{0}= \frac{0.66666}{k}=0.33333}\), a nie jak podałeś \(\displaystyle{ U _{0}=1}\)

2. Jeśli przyjmiemy, że zadanie dotyczy badania odpowiedzi transmitancji \(\displaystyle{ G _{0}(s)}\) objętej ujemnym sprzężeniem zwrotnym, wówczas podane przez Ciebie dwa warunki

\(\displaystyle{ U _{0}=1}\), wartość zadana
\(\displaystyle{ \lim_{t\to\infty} Y(t) = 0.66666, \ wartosc \ ustalona}\)

są właściwe, jednak ten przypadek dotyczy teorii sterowania, a zatem nie mieści się w formule tego forum. Przy próbie podjęcia takiego zagadnienia można się spodziewać protestu ze strony Moderatora.

Zdecyduj się, który przypadek zachodzi w Twoim zadaniu.
Jeśli zachodzi przypadek (1) to jedziemy dalej, jeśli zachodzi przypadek (2) zmieniasz forum.

Pozdrawiam.

[KamienKamien]

Podałem odpowiednie dane, tylko nie zaznaczyłem iż układ jest z zamkniętą pętlą ujemnego sprzężenia zwrotnego.

Chociaż i tak nie rozumiem dlaczego temat miałby się nie pokrywać z tematyką forum, przecież mi chodzi jedynie o pomoc, ostateczne określenie z jakiego wzoru/zależności powinienem skorzystać, aby móc obliczyć odwrotną transformatę Laplace'a, dla tej transmitancji, a nie zagłębianie się w szczegóły regulacji sygnału.

Tak więc, podsumowując już wszystko posiadam układ z obiektem w zamkniętej pętli sprzężenia zwrotnego, gdzie:

\(\displaystyle{ G(s) = \frac{2}{(1+0,3s)(1+0,00171s)(1+0,02166s)}}\)

\(\displaystyle{ U _{0} = 1}\)

\(\displaystyle{ Y(s)=0,66666}\)

Jak powinienem sobie z tym poradzić?

[alek160]

Kręcisz lody jak zawodowiec. Nie wierzę w Twoje intencje. Albo nie wiesz co piszesz, albo szukasz jelenia do męczącej roboty.

1. W pierwszym liście napisałeś, że \(\displaystyle{ \ G _{0}(s)}\) to transmitancja obiektu i potrzebujesz wskazówki odnośnie obliczenia transformaty odwrotnej. Nie podałeś bardzo istotnej informacji, że obiekt jest w pętli zamkniętej.

2. W ostatnim liście napisałeś, że funkcja G(s) to transmitancja pętli i potwierdzasz, że znana jest ustalona odpowiedź tej pętli na skok jednostkowy.
Otóż informuję Cię, że podany stan ustalony (0.66666) nie pasuje do transmitancji G(s).
Dowód przy pomocy twierdzenia o wartości końcowej.
Załóżmy, że funkcja Y(s) jest odpowiedzią transmitancji G(s) na skok jednostkowy.

\(\displaystyle{ Y(s)= \frac{1}{s} \cdot G(s) = \frac{2}{s(1+0.3s)(1+0.00171s)(1+0.02166s)}}\)

Stosując twierdzenie o wartości końcowej otrzymamy,

\(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty }y(t) = \lim_{s \to 0 } \left[ s \cdot Y(s) \right] = \lim_{s \to 0} G(s) = 2}\)

Dodam, że warunki stosowania tego twierdzenia są spełnione, bowiem funkcja [sY(s)] nie posiada biegunów na osi urojonych i w prawej półpłaszczyźnie. Zatem jak widać, zamiast (0.66666) wyszło (2).
Tajemnica Twojego zadania zapewne tkwi w strukturze pętli. Prawdopodobnie w pętli znajduje się korektor proporcjonalny, a my nie wiemy jak on jest w tej pętli usytuowany.
Jeśli przyjmiesz Uo=0.33333 (jak Ci podpowiadałem w poprzednim liście) to otrzymasz oczekiwany stan ustalony (0.66666). Decyzja należy do Ciebie.

Pozdrawiam.