Oblicz czas po jakim prędkość punktu będzie 2x większa...

[Pan Salva]

Punkt materialny w trakcie ruchu przebywa drogę \(\displaystyle{ s=av^{2}-b}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są wartościami stałymi. Oblicz czas po jakim prędkość punktu będzie 2 razy większa od początkowej.
Próbowałem coś zrobić lecz jestem pewien że to jest źle.
\(\displaystyle{ v= \frac{ds}{dt}}\)
\(\displaystyle{ v= \frac{d(av ^{2}-b) }{dt}}\)
Nie wiem jak zróżniczkować ten wzór po \(\displaystyle{ t}\).

Prosiłbym o pomoc i wytłumaczenie tego zadania, z góry dziękuję.

[Kartezjusz]

\(\displaystyle{ v}\) to u Ciebie jest co?

[Pan Salva]

Moduł prędkości.

[Kartezjusz]

Czyli \(\displaystyle{ v=s'}\) jak wiemy ,czyli tworzy się nam równanie różniczkowe
\(\displaystyle{ s=(s')^{2}a-b}\)Wyznaczmy \(\displaystyle{ s'}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{s+b}{a} }=s'}\)
To jest równanie o rozdzielonych zmiennych. Podzielmy obustronnie przez całą lewą stronę .Mamy
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{a}s' }{ \sqrt{s+b} } =1}\) i obustronnie scałkujmy po x
Prawa strona nie budzi zastrzeżeń. Lewa to co innego
\(\displaystyle{ \int \frac{ \sqrt{a}s' }{ \sqrt{s+b} }dx=2 \sqrt{a}= \int \frac{s'}{2 \sqrt{x+b} }dx}\)
\(\displaystyle{ 2\sqrt{a(s+b)}+C=x}\)Teraz wyznaczmy s
\(\displaystyle{ 4a(s+b)=(x-C)^{2}\(\displaystyle{ }\)s= frac{(x-C)^{2}}{4a}-b }\)I problem jest ,bo nie ma nic o drodze,ani prędkości w jakimkolwiek momencie...

[mkb]

Trochę mało danych.

Twoje pierwsze pytanie dot. różniczkowania:
\(\displaystyle{ \frac{d(v^2)}{dt}=2v \frac{dv}{dt}}\)

Oznaczając przyspieszenie przez \(\displaystyle{ r}\) i różniczkując obustronnie wzór na drogę (co zacząłeś) dostajesz stałe przyspieszenie:
\(\displaystyle{ r= \frac{1}{2a}}\)

Prędkość w ruchu jednostajnie przyspieszonym:
\(\displaystyle{ v(t)= v_{0}+rt=v_{0}+ \frac{t}{2a}}\)
Obliczamy czas, po jakim prędkość się podwoi:
\(\displaystyle{ 2v _{0} =v_{0}+ \frac{t}{2a}}\)
\(\displaystyle{ t=2av _{0}}\)

Jeżeli w chwili początkowej \(\displaystyle{ s=0}\) (jest tak, jeżeli s oznacza przebytą drogę), zachodzi
\(\displaystyle{ 0=av_0^{2}-b}\)
skąd można wyznaczyć \(\displaystyle{ v _{0}}\) i wstawić do wzoru na poszukiwany czas