Całka z funkcji wykładniczej i trygonometrycznej

[rkaminski]

Witam,

Do policzenia mam takie coś:

\(\displaystyle{ \intop_{0}^{\pi}\exp\left(2\pi iSr\cos\theta\right)\sin\theta\mathrm{d}\theta}\)

ponoć ma wyjść z tego:

\(\displaystyle{ \frac{\sin\left(2\pi Sr\right)}{2\pi Sr}}\)

Stosując podstawienie takie, że \(\displaystyle{ x=2\pi iSr\cos\theta}\) mam kolejno:

\(\displaystyle{ \intop_{0}^{\pi}\exp\left(2\pi iSr\cos\theta\right)\sin\theta\mathrm{d}\theta=-\frac{1}{2\pi iSr}\intop_{2\pi iSr}^{0}e^{x}\mathrm{d}x=\frac{1}{2\pi iSr}\intop_{0}^{2\pi iSr}e^{x}\mathrm{d}x=\frac{e^{2\pi iSr}-1}{2\pi iSr}}\)

i przyznam, że nie mam pojęcia co można z tym dalej zrobić. Z góry dziękuję.

Radek

[BettyBoo]

Źle wyznaczyłeś nowe granice całkowania - \(\displaystyle{ \cos \pi=-1}\), a nie \(\displaystyle{ 0}\).

A wynikiem jest \(\displaystyle{ \frac{\sin\left(2\pi Sr\right)}{\pi Sr}}\)

Pozdrawiam.

[rkaminski]

Masz całkowitą rację. Dzięki wielkie. Teraz wszystko wychodzi. Dla porządku:

\(\displaystyle{ \intop_{0}^{\pi}\exp\left(2\pi iSr\cos\theta\right)\sin\theta\mathrm{d}\theta=-\frac{1}{2\pi iSr}\intop_{2\pi iSr}^{-2\pi iSr}e^{x}\mathrm{d}x}\)

\(\displaystyle{ =\frac{1}{2\pi iSr}\intop_{-2\pi iSr}^{2\pi iSr}e^{x}\mathrm{d}x=\frac{e^{2\pi iSr}-e^{-2\pi iSr}}{2\pi iSr}=\frac{\sin\left(2\pi Sr\right)}{\pi Sr}}\)