Kuratoryjny Konkurs Mat. [lubelskie, etap szkolny] 2011

[tito1977]

pomylka a nie wiem jak usunac post

[kolegasafeta]

Ciekawe, jak kolega Vax dostał dostał maksymalną liczbę punktów za zadanie z czworokątem, skoro jest ono źle skonstruowane i nie da się rozwiązać..

[Vax]

Ciekawe, jak kolega Vax dostał dostał maksymalną liczbę punktów za zadanie z czworokątem, skoro jest ono źle skonstruowane i nie da się rozwiązać..

vaneq nie dodał, że \(\displaystyle{ |DE| = 5}\)

[oswego]

mozna prosic o jakas wskazowke do tego zadania-- 2 lis 2011, o 09:59 --nikt nie chce odsłonić rąbka tajemnicy?

[hunterv]

Mógłby mi ktoś napisac pełne rozwiązania do tych zadań??
Potrzebuje ich bardzo, będę wdzięczny.

[Loczek_66]

To już jutro. Życzę wszystkim powodzenia i mam nadzieję, że po konkursie omówimy sobie zadania tutaj

[Disnejx86]

Powodzenia panowie

[Loczek_66]

I jak wrażenia po konkursie? Mógłby ktoś z was przedstawić swoje odpowiedzi, bo swoich nie jestem pewien?

[wojteko10]

Moje odpowiedzi do zadań zamkniętych:
1.A 2.D 3.D 4.C 5.D 6.D 7.C 8.B
Zadania otwarte:
9. nie wiem
10. 30g i 60g 0,8 i 0,875
11. \(\displaystyle{ 15cm^{2}}\)
12. \(\displaystyle{ V=10 \frac{2}{3} cm^{3}}\)
\(\displaystyle{ Pc=8*(1+ \sqrt{2} + \sqrt{3}}\))

[Vax]

Moje odpowiedzi do zadań zamkniętych:
1.A 2.D 3.D 4.C 5.D 6.D 7.C 8.B
Zadania otwarte:
9. nie wiem
10. 30g i 60g 0,8 i 0,875
11. \(\displaystyle{ 15cm^{2}}\)
12. \(\displaystyle{ V=10 \frac{2}{3} cm^{3}}\)
\(\displaystyle{ Pc=8*(1+ \sqrt{2} + \sqrt{3}}\))

Wszystkie potwierdzam, w 9 wychodziło \(\displaystyle{ (x,y) = (5,2) \vee (1,6)}\) (wystarczyło rozpatrzeć oddzielnie podzielność przez 4 i 9, parę przypadków i wychodziło)

[Loczek_66]

Ja tak samo jak kolega mam 3 otwarte i tak samo jak kolega nie zrobiłem 9. A możesz podać odpowiedzi do zamkniętych - pytanie i ich treść bo nie pamiętam co zaznaczyłem

[tito1977]

gdzie można znaleźć zadania? gdyż z odpowiedzi trudno wysnuć treść

[Loczek_66]

Przeszedłem
Gratuluje wszystkim pozostałym.
Do zobaczenia w Lublinie 27 lutego

[special_one]

1. Wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt{9-4 \sqrt{2} }}\) jest równa:

Odp. \(\displaystyle{ \sqrt{9-4 \sqrt{2} }= \sqrt{(2 \sqrt{2}-1)^2 }=\left| 2 \sqrt{2}-1 \right|=2 \sqrt{2}-1}\)

2. Wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{1-x} }{ x^{2}+1 }}\) ma sens liczbowy dla:

Odp. Mianownik wyrażenia jest liczbą dodatnią dla każdego \(\displaystyle{ x \in \Re}\). Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne, stąd nierówność \(\displaystyle{ 1-x \ge 0}\), której rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x \le 1}\).

3. Aby otrzymać liczbę \(\displaystyle{ 5^{15}}\) należy dodać do siebie:

Odp. \(\displaystyle{ 5^{14}}\) piątek, bo \(\displaystyle{ 5^{15}=5 \cdot 5^{14}}\).

4. Połowa liczby \(\displaystyle{ a}\) stanowi 50% liczby \(\displaystyle{ b}\). Wynika stąd, że:

Odp. \(\displaystyle{ a-b=0}\), bo \(\displaystyle{ \frac{1}{2}a= \frac{1}{2}b}\), stąd stąd \(\displaystyle{ a=b}\), czyli \(\displaystyle{ a-b=0}\).

5. Rozwiązaniem układu równań \(\displaystyle{ \begin{cases} x+2y=5 \cdot 2^{14} \\ x-y= 2^{13} \end{cases}}\) jest:

Odp. Mnożymy drugie równanie przez (-1) i dodajemy stronami.

Mamy \(\displaystyle{ 3y=5 \cdot 2^{14}- 2^{13}}\).

Stąd \(\displaystyle{ 3y=2^{13}(5 \cdot 2-1)}\), czyli \(\displaystyle{ y=3 \cdot 2^{13}}\).

Wstawiamy do drugiego i mamy \(\displaystyle{ x-3 \cdot 2^{13}= 2^{13}}\).

Czyli \(\displaystyle{ x= 2^{13}+3 \cdot 2^{13}= 2^{13} (1+3)= 2^{15}.}\)

Ostatecznie \(\displaystyle{ \begin{cases} x= 2^{15} \\ y=3 \cdot 2^{13} \end{cases}}\)


6. O pewnej funkcji liniowej \(\displaystyle{ f(x)}\) wiadomo, że \(\displaystyle{ f(x+1)=2x+4}\), zatem

Odp. Funkcja liniowa ma postać \(\displaystyle{ f(x)=ax+b}\).

Zatem

\(\displaystyle{ f(x+1)=a(x+1)+b}\)
\(\displaystyle{ ax+a+b=2x+4}\)
Mamy układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} a=2\\ a+b=4\end{cases}}\) , którego rozwiązaniem jest para \(\displaystyle{ \begin{cases} a=2\\ b=2\end{cases}}\).

Szukaną funkcją jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)=2x+2}\)


7. Przekątna prostokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) dzieli kąt tego prostokąta na pół. Pole prostokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) jest:

Odp. Prostokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest kwadratem o polu \(\displaystyle{ a^{2}}\). Kwadrat zbudowany na przekątnej ma pole równe \(\displaystyle{ (a \sqrt{2})^2=2 a^{2}}\). Czyli pole prostokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) jest dwa razy mniejsze od pola kwadratu zbudowanego na przekątnej.


8. Pole powierzchni sześcianu ABCDEFGH jest 7 razy większe od pola powierzchni sześcianu \(\displaystyle{ A'B'C'D'E'F'G'H'}\). Stosunek objętości sześcianu ABCDEFGH do objętości sześcianu \(\displaystyle{ A'B'C'D'E'F'G'H'}\) wynosi:

Odp. Stosunek pól wynosi \(\displaystyle{ k^{2}=7}\) , stąd \(\displaystyle{ k= \sqrt{7}}\). Stosunek objętości jest równy \(\displaystyle{ k^{3}}\), czyli \(\displaystyle{ 7 \sqrt{7}}\).


Zadania otwarte jutro, bo nie chce mi się już pisać.-- 16 gru 2011, o 23:33 --Zgodnie z obietnicą przedstawiam zadania otwarte.

9. Wyznacz wszystkie pary cyfr x i y (x - cyfra milionów, y - cyfra jedności) tak, aby liczba 23x75327y była podzielna przez 36. Odpowiedź uzasadnij.

Rozwiązanie:

Aby liczba była podzielna przez 36 musi być podzielna przez 9 i 4. Zaczynamy od podzielności przez 4. Ostatnią cyfrą musi być 2 lub 6.

Jeżeli y=2, to suma cyfr liczby (licząc z y) wynosi 31. Zatem x musi być równy 5.

Jeżeli zaś y=6, to suma cyfr (licząc z y) wynosi 35. Zatem x=1.

Odpowiedź: \(\displaystyle{ \begin{cases} x=5\\ y=2\end{cases} \vee \begin{cases} x=1\\ y=6\end{cases}}\)



10. W jednym srebrnym naszyjniku są 24 gramy czystego srebra, a w drugim, który jest dwa razy cięższy jest 52,5 grama czystego srebra. Próba srebra w cięższym naszyjniku jest o 0,075 wyższa niż w lżejszy. Ile waży każdy z naszyjników i jakie są ich próby?

Rozwiązanie:

\(\displaystyle{ x+24}\) - masa I naszyjnika
\(\displaystyle{ 2(x+24)}\) - masa II naszyjnika

\(\displaystyle{ \frac{24}{x+24}}\) - próba I

\(\displaystyle{ \frac{52,5}{2(x+24)}}\) - próba II

\(\displaystyle{ \frac{52,5}{2(x+24)}-\frac{24}{x+24}=0,075}\)

Czyli \(\displaystyle{ x=6}\).

Zatem I waży 30 g, drugi 60 g.

Próba I wynosi \(\displaystyle{ \frac{24}{30} =0,800}\), próba II wynosi \(\displaystyle{ \frac{52,5}{60}=0,875}\).

[Loczek_66]

Powodzenia wszystkim jutro życzę Do zobaczenia -- 27 lut 2012, o 15:44 --Witam! Co do konkursu:
zadanie z jarkiem wyszło mi, że ta częstotliwość wyniosła 1 moneta na sekunde.
Kolejne zadanie to było z potęgami liczby 3. Zrobiłem to w ten sposób, że po pszekształceniu, w liczniku jest iloczyn sumy i różnicy, więc licznik i mianownik można było skrócić i uzasadnić że ta liczba jest całkowita.
Kolejnym zadaniem był trójkąt i okrąg w układzie współrzędnych. punkty S i R ich współżędne to (-2 \(\displaystyle{ \sqrt{} 3}\) , 0 ) i (2\(\displaystyle{ \sqrt{} 3}\)} , 0). Pole trójkąta 12\(\displaystyle{ \sqrt{} 3}\) i obwód tyle samo.
Kolejne zadanie z kwadratem i wycinkiem koła. V= \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)125 \(\displaystyle{ \pi}\) , a pole całkowite 125 \(\displaystyle{ \pi}\) .

Czekam na wasze odpowiedzi