Rozwinąć w szereg Taylora następujące funkcje

[nedved1234]

Rozwinąć w szereg Taylora następujące funkcje:

\(\displaystyle{ a) y=ln(1+x), x _{0}=2

b) y=e ^{2x} , x _{0}=-1}\)

[pawex9]

liczysz kilka pochodnych tych funkcji w punkcie\(\displaystyle{ x _{0}}\) a nastepnie podstawiasz do wzoru tylora.

[nedved1234]

A nie można tego jakoś obliczyć stosując wzory

\(\displaystyle{ ln(1+x)= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1) ^{n} }{n+1}x ^{n+1}}\)

i do drugiego przykładu

\(\displaystyle{ e ^{x} = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x ^{n} }{n!}}\)

[Dasio11]

Można.

\(\displaystyle{ \ln (1+x) = \ln (3+(x-2)) = \ln 3 + \ln \left(1+ \frac{x-2}{3} \right) = \ln 3 + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} \cdot \left(\frac{x-2}{3} \right)^{n+1}}\)

\(\displaystyle{ e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!}}\)