Granice ciągów - zadania.

[ginga]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu kilku przykładów

a) \(\displaystyle{ \frac{3^{n} + (-3)^{n}}{4^{n}}}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{(n-1)^{10} \cdot (n-1)^{10} \cdot (n-1)^9}{(n+3)^9 \cdot (n+3)^{10} \cdot (n+3)^{10}}}\)
c) \(\displaystyle{ \frac{n \sin n!}{n^{2}+1}}\)
d) \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{n} }{ \sqrt{n+ \sqrt{n+ \sqrt{n} } } }}\)
e) \(\displaystyle{ \sqrt[n]{2n^{3} - 3n^2 +15}}\)

Z góry dziękuję.

-- 11 gru 2011, o 15:18 --

Ad c) Chyba mnie olśniło... korzystając z twierdzenia o trzech ciągach, tak?

\(\displaystyle{ \frac{n \cdot (-1)}{n^{2}+1} \le \frac{n\sin n!}{n^{2}+1} \le \frac{n \cdot 1}{n^{2}+1}}\)

Oba ciągi są zbieżna do \(\displaystyle{ 0}\), bo po wyłączeniu \(\displaystyle{ n}\) dają symbol \(\displaystyle{ \frac{\text{const}}{ \infty }}\), a z tego wynika, że ten granica tego głównego ciągu wynosi \(\displaystyle{ 0}\), dobrze?

[silvaran]

c) jest dobrze. Wskazówka do a) zobacz jak będą wyglądać parzyste i nieparzyste wyrazy tego ciągu.

[ginga]

silvaran - dziękuję
Faktycznie, wystarczy rozpisać na dwa przypadki i wychodzi, że granicą jest \(\displaystyle{ 0}\)

Ad b) też chyba już wiem... należy to odpowiednio pogrupować i "pousuwać" \(\displaystyle{ n}\), tak?
\(\displaystyle{ \frac{\left(n-1\right)\left(n-1\right)}{n+3\right)\left(n+3\right)}^{10} \cdot \frac{\left(n-1\right)}{\left(n+3\right)} ^{9} = \left(\frac{n^{2}-2n+1}{n^2+6n+9}\right) ^{10} \cdot \left( \frac{n-1}{n+3\right)} \right)^{9}= 1 \cdot 1=1}\)

[Chromosom]

b) wystarczyłoby skorzystać z \(\displaystyle{ a^b\cdot a^c=a^{b+c}}\)
d) podziel licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \sqrt n}\)
e) skorzystaj z twierdzenia o trzech ciągach

[ginga]

Chromosom - dziękuję za pomoc Udało mi się już te przykłady rozwiązać.

Trafiłam jeszcze na jedno zadanko, które sprawiło mi trudności:
f) \(\displaystyle{ \sqrt[3]{n^3 + 7n^2} - n - 1}\)

Będę wdzięczna za jakieś wskazówki.

[Lbubsazob]

Zapisz to wyrażenie jako \(\displaystyle{ \sqrt[3]{n^3 + 7n^2} -( n + 1)}\) i wykorzystaj wzór na różnicę sześcianów: \(\displaystyle{ a^3-b^3=\left( a-b\right)\left( a^2+ab+b^2\right)}\)

[ginga]

Dziękuję za pomoc
Mam jeszcze jeden przykład:
\(\displaystyle{ n \cdot \sin \left( \frac{1}{n} \right)}\)

[silvaran]

\(\displaystyle{ n \cdot \sin \left( \frac{1}{n} \right) = \frac{\sin \left( \frac{1}{n} \right) }{ \frac{1}{n} }}\)