Równanie dyfuzji/przewodnictwa - problem

[wino555]

\(\displaystyle{ \\ Mam\ rowwnanie\ typu:
\\u _{tt} - a^{2}u _{xx} = 0
\\
\\z\ warunkami\ brzegowymi\ /początkowymi ?
\\u(0,t) = 0
\\u _{x} (L,t) = 0
\\
\\i\ jeszcze:
\\u(x,0) = sin\left[ \frac{5 \pi x }{2L} \right]
\\u _{t}(x,0) = cos\left[ \frac{ \pi x}{2L} \right]

Proszę o pomoc, i wyjaśnienie co to za typ równania i czym się różnią warunki brzegowe od początkowych}\)

[luka52]

Najprościej mówiąc, warunki początkowe to są warunki narzucone na funkcję w chwili początkowej (czyli wtedy gdy zmienna czasowa przyjmuje wartość, od której liczymy czas, np. \(\displaystyle{ t = t_0}\) czy też \(\displaystyle{ t = 0}\)). Warunki brzegowe to wszystkie inne.

Samo równanie jest równaniem różniczkowym cząstkowym drugiego rzędu, hiperboliczne.

[wino555]

aha, dzieki, a jak je rozwiązać?

[luka52]

Metody są różne - np. rozdzielenie zmiennych czy z pomocą transformaty Fouriera. Jeżeli nie znasz żadnej metody rozwiązywania RRCz to jednak lepiej przejrzeć odpowiednią książkę czy skrypt by doczytać odpowiednią teorię.

PS. Jeżeli ma to być równanie dyfuzji, to powinna być jedynie pierwsza pochodna po czasie.

[wino555]

PS. Jeżeli ma to być równanie dyfuzji, to powinna być jedynie pierwsza pochodna po czasie.

Jednak jest na pewno:
\(\displaystyle{ \\u _{tt} - a^{2}u _{xx} = 0}\)
Z drugiego warunku brzegowego wychodzi, że:
\(\displaystyle{ \\
\lambda = \frac{k \pi }{L}}\)
Spodziewamy się rozwiązania typu:
\(\displaystyle{ u \left( x,t \right) = \left( C \cdot \cos \left[ \lambda x \right] + D \cdot \sin \left[ \lambda x \right] \right) \cdot \left( A\cos \left[ \lambda at \right] + B\sin \left[ \lambda at \right] \right)}\)
wiadomo, że
\(\displaystyle{ u _{x} \left( L,t \right) = -T \left( t \right) \lambda A\sin \left[ \lambda L \right] = 0}\)
więc
\(\displaystyle{ \lambda= \frac{k \pi }{L}}\)
rozwiązanie spełnione dla każdego 'k', wiec rozwiązanie ostateczne jest sumą:
\(\displaystyle{ u \left( x,t \right) = \sum_{0}^{ \infty } \left( A\cos \left[ \frac{ak \pi }{L} t \right] + B\sin \left[ \frac{ak \pi }{L} t \right] \right) Dk\sin \frac{k \pi x}{L}}\)
przyjmuję \(\displaystyle{ A \cdot Dk=Ak, B \cdot Dk=Bk}\),
Ak wychodzi mi że jest równe zero,
\(\displaystyle{ Bk = \frac{2}{ak \pi } \cdot \frac{-2k \left( -1 \right) ^{k} }{1-4k ^{2} }}\)
Więc OSTATECZNIE:
\(\displaystyle{ u \left( x,t \right) = \frac{4}{a \pi } \sum_{0}^{ \infty } \frac{k \left( -1 \right) ^{k} }{4k ^{2}-1 }
\sin \left[ \frac{ak \pi }{L} t \right] \sin \left[ \frac{k \pi }{L} x \right]}\)

Czy dobrze? PROSZEEE O POMOCCCC