Całki nieoznaczone

[milus131]

Pomoże ktoś?

a) \(\displaystyle{ \int \frac{x}{2+ 5x^{2}} dx =}\)

b) \(\displaystyle{ \int \frac{ \ln^{2}x }{ x^{2} } dx =}\)

c) \(\displaystyle{ \int \frac{ e^{x} }{ e^{x}+3 } dx =}\)

[chris_f]

1. Podstawienie \(\displaystyle{ 2+5x^2=t}\)
3. Podstawienie \(\displaystyle{ e^x+3=t}\)
2. Tu chyba zrobiłeś błąd w treści, bo jeżeli nie, to trzeba się znacznie więcej naliczyć, najpierw przez podstawienie \(\displaystyle{ x=e^t}\), potem dwa razy przez części.

[milus131]

Dzięki Ci wielkie, właśnie tego potrzebowałam - wiedzieć jak to ugryźć.
Pozdrawiam:)

-- 10 gru 2011, o 17:29 --

Mogłabym jeszcze prosić o pomoc z tymi przykładami:

4) \(\displaystyle{ \int \frac{x+5}{ 4x^{2}+x+7 } \,\text{d}x=}\)

5) \(\displaystyle{ \int \frac{ \left(\arcsin x\right)^{3} }{ \sqrt{1- x^{2} } } \,\text{d}x =}\)

6) \(\displaystyle{ \int \frac{ \sqrt{5\ln x+7} }{x} \,\text{d}x =}\)

7) \(\displaystyle{ \int \frac{ \sqrt{2\arctan x-2} }{1+ x^{2} } \,\text{d}x =}\)

[Mariusz M]

4) rozbij na sume calek tak aby otrzymac sume logarytmu i arcusa tangensa
5) podstaw za arcusa mozesz ewentualnie przez czesci
6) podstaw za pierwiastek
7 podstaw za pierwiastek

chris_f, w 2) wystarczy dwa razy przez czesci ,podstawienie niewiele daje

[milus131]

A w tym przykładzie nr 4 jakaś dodatkowa podpowiedź?

[Chromosom]

doprowadź trójmian kwadratowy z mianownika do postaci kanonicznej

[chris_f]

Ja to robię tak bardziej "po chłopsku" - najpierw w liczniku staram się uzyskać pochodną mianownika, skoro w mianowniku jest \(\displaystyle{ 4x^2+x+7}\) to pochodna z tego to będzie \(\displaystyle{ 8x+1}\). Najpierw uzyskam \(\displaystyle{ 8x}\) mnożąc i dzieląc przez \(\displaystyle{ 8}\)
\(\displaystyle{ \int\frac{x+5}{4x^2+x+7}dx=\frac18\int\frac{8x+40}{4x^2+x+7}dx=...}\)
potem aby uzyskać \(\displaystyle{ +1}\) to zawsze zadziała dodanie i odjęcie tej jedynki
\(\displaystyle{ ...=\frac18\int\frac{8x+1+39}{4x^2+x+7}dx=...}\)
teraz to sobie rozbijam na sumę całek
\(\displaystyle{ ...=\frac18\int\frac{8x+1}{4x^2+x+7}dx+\frac{39}{8}\int\frac{1}{4x^2+x+7}dx}\)
Pierwsza całka jest gotowa (bo licznik jest pochodną mianownika) zatem (wartość bezwzględna tak naprawdę nie jest tu potrzebna ale tak dla jasności)
\(\displaystyle{ \frac18\int\frac{8x+1}{4x^2+x+7}dx=\frac18\ln|4x^2+x+7|}\)
Drugą całkę policzę tak jak proponował Ci @Chromosom, tzn. najpierw mianownik do postaci kanonicznej, z tym, że to też tak "po chłopsku" a nie wzorami
\(\displaystyle{ \frac{39}{8}\int\frac{1}{4x^2+x+7}dx=
\frac{39}{8}\int\frac{1}{4\left(x^2+\frac14x+\frac74\right)}dx=
\frac{39}{32}\int\frac{1}{(x+\frac18)^2-\frac{1}{64}+\frac74}dx=...}\)
podstawię dla uproszczenia \(\displaystyle{ x+\frac18=t}\) i wykonam działanie
\(\displaystyle{ ...=\frac{39}{32}\int\frac{1}{t^2+\frac{111}{64}}dt=
\frac{39}{32}\int\frac{1}{\frac{111}{64}\left(\frac{64}{111}t^2+1\right)}dt=
\frac{39}{32}\cdot\frac{64}{111}\int\frac{1}{\left(\frac{8t}{\sqrt{111}}\right)^2+1}dt=}\)
teraz znowu podstawienie \(\displaystyle{ \frac{8t}{\sqrt{111}}=z\Longrightarrow dt=\frac{\sqrt{111}}{8}dz}\)
\(\displaystyle{ ...=\frac{39}{32}\cdot\frac{64}{111}\cdot\frac{\sqrt{111}}{8}\int\frac{1}{z^2+1}dz=
\frac{39\sqrt{111}}{444}\arctan z...=}\)
No i teraz tylko powrót do wyjściowej zmiennej i mamy
\(\displaystyle{ ...=\frac{39\sqrt{111}}{444}\arctan\frac{8(x+\frac18)}{\sqrt{111}}}\)

Można to szybciej gotowymi wzorami (ja ich nigdy nie pamiętam), pewnie się tu w rachunkach sypnąłem, no i w rzeczywistości będzie krócej bez tych objaśnień. Ale co, drobne ćwiczenie z TeX-a sobie strzeliłem i stare dobre czasy się przypomniały.

PS. Polecam Ci zbiorek "Bermann - Zbiór zadań z analizy matematycznej", najlepiej w wersji rosyjskojęzycznej bo polska jest okrojona - jak go przerobisz to ciągi, szeregi liczbowe i funkcyjne, pochodne i całki wszelkiego rodzaju z zastosowaniami oraz równania różniczkowe będziesz miała opanowane na blachę - żaden ćwiczeniowiec Cię nie zaskoczy.

PS 2. W tej polskiej, okrojonej wersji jest około 7000 zadań.

[milus131]

Wow, super, dzięki! Spróbuję skorzystać z tej książki, na pewno się przyda, bo to czego brakuje u mnie to "objaśniania" czegokolwiek i strasznie ciężko czasami mi "samemu" wymyślać jak to liczyć:p
Dziękuję jeszcze raz za pomoc:)