Granica i badanie zbieżności prostych ciągów i szeregów.

[mrach]

Witam. Wiem, że te przykłady sa łatwe, tak mi sie wydaje, jednak chce sie tylko upewnic czy dobrze rozumuję.

1. \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{\left( \sqrt[3]{n ^{3}+3n }-n \right)n }}\)

czy tu trzeba użyć sprzężenia i wyjdzie \(\displaystyle{ \frac{1}{ \frac{3n ^{2} }{3n ^{2} } }}\) czyli 1?


2. \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{n+1}{n-2} \right) ^{2}}\)

podnieść górę i dół do drugiej potęgi, wyciągnąć \(\displaystyle{ n ^{2}}\) przed i wyjdzie \(\displaystyle{ \frac{2}{2}}\) czyli tez 1?

3. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt{\tg \frac{1}{\left( n+1\right) ^{2} } }}\)

rozkladam \(\displaystyle{ \tg}\) na \(\displaystyle{ \frac{\sin}{\cos}}\) oraz wiedzac, że \(\displaystyle{ \sin}\) i \(\displaystyle{ \cos}\) przyjmują wartości z przedziału \(\displaystyle{ \left( 0;1\right)}\) napisać ze granica szeregu zbiega do 1, wiec szereg nie spełnia kryterium ogólnego zbieżności szeregu, przez co szereg rozbieżny?

4. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n+1}{2n ^{2}-2 }}\)
tutaj skorzystałem z kryterium ilorazowego podstawiając za \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } b _{n}= \frac{1}{2n}}\) który jest zbieżny, więc badany tez jest zbieżny?

jak mówię jakieś herezje to poprawcie

[miodzio1988]

2. Nie. Liczba \(\displaystyle{ e}\) sie klania

3. Tez nie. Warunek konieczny spelnia

4. Znowu zle. Dobrany szereg jest rozbiezny

[mrach]

dałbyś radę to rozwiązać i mi to pokazać?

[miodzio1988]

dałbyś radę to rozwiązać i mi to pokazać?

2. Jak wygląda definicja liczby \(\displaystyle{ e}\)?

[mrach]

Liczbę \(\displaystyle{ \epsilon}\) (tj. liczbę Eulera) można określić jako granicę pewnego ciągu liczbowego. Otóż można udowodnię, że ciąg o wyrazie ogólnym

\(\displaystyle{ \left ( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n}}\)

a tam żadnej potęgi n nie mam, nawet podstawiając pod wolframa wychodzi mi 1.

a te szeregi?

[miodzio1988]

Sorka. Widziałem \(\displaystyle{ n}\) w potędze. Tak to jet ok.

4. Napisałem co poprawić, nie? Zatem to popraw

[mrach]

hmmmm... a kryterium porównawcze?

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } b _{n} = \frac{2n ^{2} -2}{2n ^{2}-2}}\)


\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } a _{n} \le \sum_{n=1}^{ \infty }b _{n}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } b _{n}}\) zbieżny do 1, więc \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } a _{n}}\) też zbieżny?

[miodzio1988]

ta argumentacja nie jest poprawn. Z ilorazowym probuj jeszcze raz

[mrach]

podstawiam taki sam jak wcześniej tylko wiem ze jest on harmoniczny rzędu \(\displaystyle{ \le 1}\) więc rozbieżny, to i badany tez rozbieżny?

[miodzio1988]

zgadza sie

[mrach]

tego ostatniego próbowałem z d'Alamberta ale wychodzi 1.

Może z wartości bezwzględnej? Rozpisując \(\displaystyle{ \tg}\) na \(\displaystyle{ \frac{\sin}{\cos}}\),wiedząc jakie wartosci przyjmuje \(\displaystyle{ \sin}\) i \(\displaystyle{ \cos}\) oraz wrzucając ta granicę w moduł, wyjdzie nam 1 wiec ten szereg jest zbieżny? czy granica szeregu zbiegajaca do 1 daje szereg rozbiezny :X?

[miodzio1988]

Skorzystaj znowu z kryterium ilorazowego

[mrach]

hmmm tylko jaki będzie ten drugi szereg?

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt{\ctg \frac{1}{(n+1) ^{2} } }}\)?

[Dasio11]

Nie. Tangens nie jest zbyt wygodny, więc można skorzystać z kryterium ilorazowego z jakimś bardziej ludzkim szeregiem. Przyda się granica

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\tg x}{x}=1.}\)