Równanie różniczkowe (równania o rozdzielonych zmiennych )

[crew1988]

Witam:)
Mam problem związany z danym zadaniem. Prosiłbym o pomoc w jego rozwiązaniu ( jestem laikiem w dziedzinie matematyki), więc byłbym dozgonnie wdzięczny za rozwiązanie danych przykładów krok po kroku. Z góry serdecznie dziękuje za pomoc

Zad. Znaleźć rozwiązania podanych równań różniczkowych bądź zagadnień początkowych ( Równania o rozdzielonych zmiennych)

a) \(\displaystyle{ xy' = y ^{2} -y}\)

b) \(\displaystyle{ x ^{2} y' = 1-y}\)

c) \(\displaystyle{ xy' = 2y , y(2) =12}\)

[darlove]

Witam:)
Mam problem związany z danym zadaniem. Prosiłbym o pomoc w jego rozwiązaniu ( jestem laikiem w dziedzinie matematyki), więc byłbym dozgonnie wdzięczny za rozwiązanie danych przykładów krok po kroku. Z góry serdecznie dziękuje za pomoc

Zad. Znaleźć rozwiązania podanych równań różniczkowych bądź zagadnień początkowych ( Równania o rozdzielonych zmiennych)

a) \(\displaystyle{ xy' = y ^{2} -y}\)

b) \(\displaystyle{ x ^{2} y' = 1-y}\)

c) \(\displaystyle{ xy' = 2y , y(2) =12}\)

a)
\(\displaystyle{ xy' = y ^{2} -y\\
\frac{y'}{y ^{2} -y}=\frac{1}{x}\\
\left(\frac{1}{y ^{2} -y}\right)\,dy=\frac{1}{x}\,dx\\
\frac{1}{y-1}\,dy-\frac{1}{y}\,dy=\frac{1}{x}\,dx\\
\int\frac{1}{y-1}\,dy-\int\frac{1}{y}\,dy=\int\frac{1}{x}\,dx\\
\ln\left|\frac{y-1}{y}\right|=\ln |x|+C\\
y-1=-Cxy\\
y=\frac{1}{1+Cx}}\)

lub \(\displaystyle{ y\equiv 0}\).