fajna granica trygonometryczna

[blost]

Witam,
Mam taka oto granice
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0} \frac{1}{x^2} -ctg^2(x)}\)

wolfram zwraca dosc ladny wynik lecz niestety nie wiem jak do niego dojsc. probowalem 2 razy z hospitala ale to niestety nie przyblizylo mnie chyba do wyniku. moglbym prosic o jakas wskazowke ?

[piasek101]

Np. Zamień cotangensa na iloraz cosinusa i sinusa, odejmij ułamki (jeśli to wszystko było pod granicą) , w liczniku zobacz (prawie) kosinusa podwojonego kąta.

[pawellogrd]

Możesz skorzystać z:

\(\displaystyle{ \ctg x=\frac{\cos x}{\sin x}}\) ,

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1}\)

\(\displaystyle{ 1 - \cos^2 x =\sin^2 x \Rightarrow \cos^2 x = 1 - \sin^2 x}\)

Na pierwszy rzut oka te wzory mogą się przydać. Bez l'Hospitala

[luka52]

Można też tak:
przekształcić do postaci

\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2} - \ctg^2 x = \frac{1}{x^2} - \frac{\cos^2 x + \sin^2 x - \sin^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sin^2 x} + 1}\)

i dalej 100829.htm#p370521

[blost]

Dzieku luka W sumie to nawet udalo mi sie do tego juz dojsc ale rozwiazanie z rozwinieciem w szereg taylora jest jak dosyc ciekawe także w razie takiego zadania na kolokwium mozna by zastosowac troszke odmienne rozwiazanie niz 10 razy z hospitala liczyc ;P
Pozdrawiam