Rozwiąż równanie, logarytmując jego obie strony

[loonatic]

Rozwiąż równanie, logarytmując jego obie strony:
a) \(\displaystyle{ x^{2x}=x}\),
b) \(\displaystyle{ 2^{x}=5^{x-1}}\),
c) \(\displaystyle{ 3^{1-x}=4^{x+2}}\).

Co to znaczy logarytmować strony równania?

Z a) poradziłem sobie w następujący sposób, ale to chyba raczej nie jest zgodne z poleceniem:

\(\displaystyle{ x^{2x}=x}\)
\(\displaystyle{ x^{2x-1}=1 x=1 2x-1=0}\)
\(\displaystyle{ 2x=1}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=1}\), \(\displaystyle{ x_{2}=\frac{1}{2}}\)

Proszę o wytłumaczenie (nie koniecznie rozwiązanie, ale jakieś wskazówki) jak rozwiązać to zadanie.

[tomekture8]

Tak, jak możesz obie strony równania pomnożyć bądź podzielić przez daną liczbę itp. tak możesz zlogarytmować, czyli

\(\displaystyle{ x^{2x} = x}\)

obie strony równania logarytmujesz logarytmem o podstawie 10 i dostajesz

\(\displaystyle{ \log x^{2x}=\log x}\)
\(\displaystyle{ 2x \log x = \log x}\)
\(\displaystyle{ 2x \log x - \log x = 0}\)
\(\displaystyle{ \log x (2x-1) = 0}\)
\(\displaystyle{ log x = 0 2x-1 = 0}\)
\(\displaystyle{ x=1 x= \frac{1}{2}}\)

[loonatic]

Dzięki tomekture8. Teraz już rozumiem o co chodzi w logarytmowaniu równania .

Ale z przykładem c) niezbyt dobrze mi idzie:
\(\displaystyle{ 3^{1-x}=4^{x+2}}\)
\(\displaystyle{ \log_{2} 3^{1-x}=\log_{2} 4^{x+2}}\)
\(\displaystyle{ (1-x) \log_{2} 3=(x+2) \log_{2} 4}\)
\(\displaystyle{ (1-x) \log_{2} 3=2(x+2) \log_{2} 2}\)
\(\displaystyle{ (1-x) \log_{2} 3=2(x+2)|:(1-x)}\)
\(\displaystyle{ \frac{\log_{2} 3}{1}=\frac{2x+4}{1-x}}\)
i co dalej?

~to już nie istotne, nie trzeba czytać: początek~
Niestety w b) wychodzi mi zupełnie inny wynik niż w książce, choć przy wykonywaniu sprawdzenia wydaje się poprawny:

Och, shame on me. Przykład źle przepisałem . Ale tyle się niżej napisałem, że szkoda mi kasować . Zostawiam dla potomności. Może ktoś będzie miał akurat takie zadanie i mu to coś pomoże.

\(\displaystyle{ 2^{x}=4^{x+2}}\)
\(\displaystyle{ \log 2^{x}=\log 4^{x+2}}\)
\(\displaystyle{ x \log 2=\log ft( 2^{2}\right) ^{x+2}}\)
\(\displaystyle{ x \log 2=\log 2^{2(x+2)}}\)
\(\displaystyle{ x \log 2=2(x+2) \log 2\ |:\log 2}\)
\(\displaystyle{ x=2x+4}\)
\(\displaystyle{ 0=x+4}\)
\(\displaystyle{ x=-4}\)

spr.:
\(\displaystyle{ 2^{-4}=4^{-4+2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2^{4}}=\frac{1}{4^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{16}=\frac{1}{16}}\)

Książka podaje odpowiedź: \(\displaystyle{ x=\frac{\log 5}{\log 5 - \log 2}}\)...
~to już nie istotne, nie trzeba czytać: koniec~

\(\displaystyle{ \log x (2x-1) = 0}\)

To chyba lepiej zapisać jako: \(\displaystyle{ (2x-1) \log x = 0}\). Jest bardziej czytelne i mniej mylące. Sam się zastanawiałem jak rozumieć tą linijkę, ale dzięki poprzedniej domyśliłem się, że to po prostu \(\displaystyle{ \log x}\) zostało wyłączone przed nawias. Napisałem, co by było dla potomności .

[ Dodano: 13 Grudnia 2008, 17:26 ]
W b), już poprawnie przepisanym, też nic mądrego nie wymyśliłem:

\(\displaystyle{ 2^{x}=5^{x-1}}\)
\(\displaystyle{ \log 2^{x}=\log 5^{x-1}}\)
\(\displaystyle{ x \log 2=(x-1) \log 5}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{x-1}=\frac{\log 2}{\log 5}}\), bo dalej mi nie idzie.

[piasek101]

...
\(\displaystyle{ x \log 2=(x-1) \log 5}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{x-1}=\frac{\log 2}{\log 5}}\), bo dalej mi nie idzie.

Przedostatnią linijkę masz ok (ostatnia do bani).

Rozwijając przedostatnią :

\(\displaystyle{ xlog2=xlog5-log5}\) (niewiadome na lewo ....; wyłączyć x przed nawias; podzielić stronami przez to co ,,stoi" przy x-sie).

[loonatic]

...
\(\displaystyle{ x \log 2=(x-1) \log 5}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{x-1}=\frac{\log 2}{\log 5}}\), bo dalej mi nie idzie.

Przedostatnią linijkę masz ok (ostatnia do bani).

Bo pomyliłem się przy przekształcaniu, a raczej przy przepisywaniu z kartki do TeX-a.

BTW: Czy przekształcenie:
\(\displaystyle{ x \log 2=(x-1) \log 5|:(x-1)}\)
\(\displaystyle{ \frac{x \log 2}{x-1}=\log 5|:(\log 2)}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{x-1}=\frac{\log 5}{\log 2}}\)
byłoby poprawne? Jeśli tak, to w takim przypadku musiałbym chyba dodać założenie \(\displaystyle{ x-1 0}\)?

Rozwijając przedostatnią :

\(\displaystyle{ xlog2=xlog5-log5}\) (niewiadome na lewo ....; wyłączyć x przed nawias; podzielić stronami przez to co ,,stoi" przy x-sie).

No tak... Oczywiście Twoje wyjaśnienie pozwoliło mi rozwiązać także podpunkt c). Zamieszczam rozwiązanie (przekształcenia rozpoczynam od przedostatniej linijki w poprzednim poście), może komuś się przyda:
\(\displaystyle{ (1-x) \log_{2} 3=2(x+2)}\)
\(\displaystyle{ 2x+4=(1-x) \log_{2} 3}\)
\(\displaystyle{ 2x=\log_{2} 3 - x \log_{2} 3 -4}\)
\(\displaystyle{ 2x+x \log_{2} 3=\log_{2} 3 -4}\)
\(\displaystyle{ x (2+\cdot \log_{2} 3)=\log_{2} 3 -4|:(2+\cdot \log_{2} 3)}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{\log_{2} 3 -4}{\log_{2} 3 + 2}}\), co po kolejnych przekształceniach (pozwala na nie wiedza, że: \(\displaystyle{ 2=\log_{2}4}\), a \(\displaystyle{ 4=\log_{2}16}\) oraz twierdzenie o zmianie podstawy logarytmu) możemy doprowadzić do postaci występującej w odpowiedziach w podręczniku:
\(\displaystyle{ x=\frac{1-2\log_{3} 4}{\log_{3} 4 + 1}}\)

Jeszcze raz dziękuję Wam za pomoc i wyłapanie błędów . Proszę o odpowiedź na pytanie postawione w pierwszej części tego posta.

[K4rol]

ja mam taki przykład
\(\displaystyle{ 2^{3+log_{2}24}=3 \cdot 8^{\frac{1}{x}}}\)

logarytmując przez logarytm o podstawie 2 otrzymuje
\(\displaystyle{ 3+log_{2}24=log_{2}3 \cdot \frac{3}{x}}\)

i tu już jest lipa bo wynik to 1/2, a na tym etapie już jest inny wynik
przez chwilę miałem myśl czy przypadkiem tej trójki nie ruszać, ale to jeszcze gorszy wynik wychodzi

[piasek101]

Zacznij od początku, wykładnik :
\(\displaystyle{ 3+log_2 24=log_2 8 + log_2 24 = ...}\)

A potem z zależności \(\displaystyle{ a^{log_a b}=b}\)

[K4rol]

dobra wiem gdzie był błąd, logarytmuje się przecież cały iloczyn z prawej strony, a ja oddzielnie każdy element robiłem, EOT