Mam problem z poniższymi zadaniami, proszę o pomoc:)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{(n+2)!+(n+1)!}{(n+3)!}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{ \sqrt{n ^{2}+1 } +n ^{2} }{ \sqrt[3]{n ^{3} }+1 }}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{2 ^{ \sqrt{n+1} } }{2 ^{ \sqrt{n} } }}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\log(n ^{2}+1) -2\log n}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{2 ^{2n+1}-3 }{5-3 \cdot 4 ^{n} }}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{ \sqrt[3]{n}+2}{ \sqrt{n}+ \sqrt[3]{n} }}\)
Byłbym wdzięczny za pomoc:)
Granice ciągu.
-
kwadracik23
- Użytkownik
- Posty: 117
- Rejestracja: 30 sty 2010, o 19:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 28 razy
Granice ciągu.
1. Skorzystaj z tego, że np. \(\displaystyle{ (n+3)!=n! \cdot (n+1)(n+2)(n+3)}\)
3. Zacząć możesz tak:
\(\displaystyle{ \frac{2 ^{ \sqrt{n+1} } }{2 ^{ \sqrt{n} } } = 2^{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=2^{\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}}\)
4. Tutaj skorzystaj z własności logarytmów: \(\displaystyle{ \log(n ^{2}+1) -2\log n = \log(n ^{2}+1) -\log (n^2) = \log(\frac{n ^{2}+1}{n^2})}\)
dalej już prosto
5. Trzeba podzielić licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ 4^n}\)
Jakby był problem to: \(\displaystyle{ 2^{2n+1}=2 \cdot 2^{2n}=2 \cdot 4^{n}}\)
3. Zacząć możesz tak:
\(\displaystyle{ \frac{2 ^{ \sqrt{n+1} } }{2 ^{ \sqrt{n} } } = 2^{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=2^{\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}}\)
4. Tutaj skorzystaj z własności logarytmów: \(\displaystyle{ \log(n ^{2}+1) -2\log n = \log(n ^{2}+1) -\log (n^2) = \log(\frac{n ^{2}+1}{n^2})}\)
dalej już prosto
5. Trzeba podzielić licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ 4^n}\)
Jakby był problem to: \(\displaystyle{ 2^{2n+1}=2 \cdot 2^{2n}=2 \cdot 4^{n}}\)
-
walistopa
- Użytkownik
- Posty: 306
- Rejestracja: 12 gru 2010, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: katowice
- Podziękował: 7 razy
Granice ciągu.
w 1 przykładzie korzystałem z tego i wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{ \frac{1}{n+3}+ \frac{1}{(n+2)!(n+3)} }{1}}\) wychodzi z tego, że granica wynosi 0 a tyle ma byc w odpowiedzi, tylko czy to jest dobrze rozwiązane?
w 3 przykładzie wyszło mi 1 a w 4. 0:)-- 6 gru 2011, o 19:21 --Mam natomiast problem z przedostatnim przykładem:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{1- \frac{1}{4 ^{n} } }{ \frac{5}{4 ^{n} }-3 }}\)
w takim razie wynik wychodzi \(\displaystyle{ -\frac{1}{3}}\) a ma byc -2/3
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{ \frac{1}{n+3}+ \frac{1}{(n+2)!(n+3)} }{1}}\) wychodzi z tego, że granica wynosi 0 a tyle ma byc w odpowiedzi, tylko czy to jest dobrze rozwiązane?
w 3 przykładzie wyszło mi 1 a w 4. 0:)-- 6 gru 2011, o 19:21 --Mam natomiast problem z przedostatnim przykładem:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{1- \frac{1}{4 ^{n} } }{ \frac{5}{4 ^{n} }-3 }}\)
w takim razie wynik wychodzi \(\displaystyle{ -\frac{1}{3}}\) a ma byc -2/3
-
kwadracik23
- Użytkownik
- Posty: 117
- Rejestracja: 30 sty 2010, o 19:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 28 razy
Granice ciągu.
Pominę limesy w zapisie:
1. \(\displaystyle{ \frac{(n+2)! + (n+1)!}{(n+3)!}=\frac{n!(n+1)(n+2)-n!(n+1)}{n!(n+1)(n+2)(n+3)}=
\frac{(n+2)+1}{(n+2)(n+3)} = \frac{n+3}{(n+2)(n+3)}=\frac{1}{n+2}}\)
czyli granica będzie rzeczywiście 0
4. OK wynik powinien wynieść 0 (bo wychodzi \(\displaystyle{ \log(1)}\))
3. Ok wynik to jest 1 (bo wychodzi \(\displaystyle{ 2^{0}=1}\))
5. W przykładzie zgubiłeś czynnik 2 bo masz:
\(\displaystyle{ \frac{2 ^{2n+1}-3 }{5-3 \cdot 4 ^{n} } = \frac{2 \cdot 2 ^{2n}-3 }{5-3 \cdot 4 ^{n} }=
\frac{2 \cdot 4 ^{n}-3 }{5-3 \cdot 4 ^{n} } = \frac{2 -\frac{3}{4^{n}} }{\frac{5}{4^{n}}-3}}\)
1. \(\displaystyle{ \frac{(n+2)! + (n+1)!}{(n+3)!}=\frac{n!(n+1)(n+2)-n!(n+1)}{n!(n+1)(n+2)(n+3)}=
\frac{(n+2)+1}{(n+2)(n+3)} = \frac{n+3}{(n+2)(n+3)}=\frac{1}{n+2}}\)
czyli granica będzie rzeczywiście 0
4. OK wynik powinien wynieść 0 (bo wychodzi \(\displaystyle{ \log(1)}\))
3. Ok wynik to jest 1 (bo wychodzi \(\displaystyle{ 2^{0}=1}\))
5. W przykładzie zgubiłeś czynnik 2 bo masz:
\(\displaystyle{ \frac{2 ^{2n+1}-3 }{5-3 \cdot 4 ^{n} } = \frac{2 \cdot 2 ^{2n}-3 }{5-3 \cdot 4 ^{n} }=
\frac{2 \cdot 4 ^{n}-3 }{5-3 \cdot 4 ^{n} } = \frac{2 -\frac{3}{4^{n}} }{\frac{5}{4^{n}}-3}}\)