Oblicz długość d1- najkróteszego odcinka, oraz d2 - długość najdłuższego odcinka, którego jednym końcem jest punkt P, a drugim końcem punkt leżący na okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2}=4}\), gdy P=(4;4)
Doszedłem do 2 rozwiązń i jedno się z drugim nie zgadza, przy czym drugie w ogóle się nie zgadza samo w sobie, więc po prostu źle myślę chyba i proszę o pomoc, ale zademonstruję moje myślenie, ale na początek jaki taki rysunek którym się posiłkuj-też nie wiem czy dobry.(rysunek mniej więcej, bo w paincie)
1szy sposób, "lepszy"
Punkt najdalszy, najbliższy, punkt P i środek okręgu leżą w jednej lini, a więc liczę odległość |PS| przy czym aby otrzymać najkrótszy odcinek odejmuje promień, a aby otrzymać najdłuższy odcinek, dodaje promień, a więc
\(\displaystyle{ |SP|= \sqrt{(4-0)^{2} + (4-0)^2}}\)
\(\displaystyle{ |SP|=4\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ d1=4\sqrt{2} - 2}\)
\(\displaystyle{ d2=4\sqrt{2} +2}\)
Z rysunku wynika, że \(\displaystyle{ d2=d1+4}\) co w tym przypadku się sprawdza.
Ale teraz pomyślalłem o drugim sposobie.
2gi sposób, gorszy, dziwny, i w jednym momencie sam sobie przeczy(albo to ja, heh)
Skoro środek okręgu i punkt P leżą na tej samej prostej, i mają współrzędne \(\displaystyle{ (0,0)}\) i \(\displaystyle{ (4,4)}\) to wywnioskowałem że leżą na prostej y=x. A więc chcąc odnaleźć punkt w którym prosta przecina okrąg robie:
\(\displaystyle{ (x-0)^{2} + (x-0)^{2}=4}\)
\(\displaystyle{ 2x^{2} =4}\)
\(\displaystyle{ x= \sqrt{2}}\) lub \(\displaystyle{ x= -\sqrt{2}}\)
Skoro \(\displaystyle{ y=x}\) to punkty przecięcia mają współrzędne \(\displaystyle{ A(\sqrt{2};\sqrt{2})}\) oraz \(\displaystyle{ B(-\sqrt{2};-\sqrt{2})}\)
No i teraz liczę odległości, czyli
\(\displaystyle{ \sqrt{(4-\sqrt{2})^{2} + (4-\sqrt{2})^{2}} =d1}\)
Po obliczeniach
\(\displaystyle{ d1=6-4 \sqrt[4]{2}}\)
d2 to po prostu zmienia się znak, więc obliczenia pominę, a więc
\(\displaystyle{ d2=6+4 \sqrt[4]{2}}\)
I w tym przypadku \(\displaystyle{ d2 \neq d1+4}\)
A ja błędu w żadnym się dopatrzyć nie mogę. Może obydwa są błędne bo mam błędne założenia?
Bardzo proszę o pomoc, o wskazanie błędów, i ew. wyjaśnienie, i o ile żadne rozwiązanie nie jest poprawne to prosiłbym o właśnie wskazanie błędów. Z góry bardzo dziękuję
-- 6 gru 2011, o 17:35 --
EDIT:
O matko, dopiero kiedy napisałem tego posta zauważyłem że najprawdopodobniej robię błąd w obliczeniach!! Tylko dlaczego? Bo GDZIE to wiem:
\(\displaystyle{ \sqrt{(4-\sqrt{2})^{2} + (4-\sqrt{2})^{2}} =d1}\)
Gdy teraz zapiasłem to sobie w postaci:
\(\displaystyle{ \sqrt{2(4-\sqrt{2})^{2}}}\)
to mi wyszło pięknie, że
\(\displaystyle{ \sqrt{2}(4-\sqrt{2})}\)
\(\displaystyle{ 4\sqrt{2}-2}\)
No druga odległość to już widać że będzie dodatnia! A więc robiłem błąd w obliczeniach 'na piechotę' i bardzo proszę o go znalezienie!
\(\displaystyle{ \sqrt{(4-\sqrt{2})^{2} + (4-\sqrt{2})^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{16-8\sqrt{2}+2+16-8\sqrt{2}+2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{36-16\sqrt{2}}}\)
\(\displaystyle{ 6-4 \sqrt[4]{2}}\)
Gdzie tu się wykładam?
