LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap
LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap
Heh po prostu przy różnych promieniach mam lol dziwne rozwiązanie, hehe musze poczekać do wtorku bo aż jestem ciekawy jak to ma być prawidłowo zrobione. dziękuje
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap
Tak.
Dobra, myślę że o 6:00 już nikt nie dostanie stempla z dniem poprzednim, więc może już się zaczniemy chwalić. Ja bez zbędnego napinania powiem, że wbiłem tylko zadania 9 i 10.
Ponadto wzór do 12 to zdaje się \(\displaystyle{ a_{n} = 9\cdot 7^{n-2} + 1}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\) oraz \(\displaystyle{ a_{1}=2}\). Nie udało mi się jednak tego dowieść.
Podsumowując zrobiłem prawie komplet, bo bez 11 i 12. Próg będzie, sądzę, że w okolicach 5-6 zadań
Dobra, myślę że o 6:00 już nikt nie dostanie stempla z dniem poprzednim, więc może już się zaczniemy chwalić. Ja bez zbędnego napinania powiem, że wbiłem tylko zadania 9 i 10.
9:
10:
Podsumowując zrobiłem prawie komplet, bo bez 11 i 12. Próg będzie, sądzę, że w okolicach 5-6 zadań
-
- Użytkownik
- Posty: 129
- Rejestracja: 20 lis 2010, o 19:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: krk
- Pomógł: 8 razy
LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap
Nie mam teraz czasu pisać pełnych rozwiązań, więc teraz tylko szkice, najwyżej poedytuję potem.
9:
10:
11:
12:
-
- Użytkownik
- Posty: 304
- Rejestracja: 22 maja 2010, o 17:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 12 razy
LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap
Marcinek665,
Tak samo, jak Ty, tylko ja nie zrobiłem 11... Po prostu jestem strasznie cienki ze stereometrii
Chociaż, jak się potem okazało, pomysł przełożenia na 2D był dobry... No ale nic
A 12..
Ja wyprowadziłem rekurencyjny wzór, \(\displaystyle{ S_{n} = 7 S_{n-1} - 6.}\)
To było chyba najbardziej schematyczne i pałowe zadanie, jakie widziałem na OM
Schemat rozw: Przyjmijmy sobie \(\displaystyle{ S_{n-2} = x_{1}^3 + x_{3}^3 + x_{5}^3 +....+ x_{n}^3.
S_{n-1} = x_{1}^3 + x_{2}^3 + x_{3}^3 +....+ x_{n}^3. (oczywiście x_{2}= x_{1}+x_{3} itd)
No i S_{n} = x_{1}^3 + (x_{2} + x_{1})^3 + x_{2}^3 +...+ (x_{n-1}+x_{n})^3 + x_{n}^3.}\)
I teraz po prostu rozpisuje się \(\displaystyle{ S_{n}.}\) I po paru niesprytnych przekształceniach wychodzi, że jest to
\(\displaystyle{ 6S_{n-1}-3S_{n-2}+6n-8 + 3[ x_{3}^2 (x_{2}+x_{4}) + x_{5}^2 ( x_{4}+x_{6})+.... +x_{n-2}^2 (x_{n-3}+x_{n-1})]}\)
I teraz Patrzysz, że \(\displaystyle{ S_{n-2}-2 = x_{3}^3 + x_{5}^3+....+x{n-2}^3.}\)
I tak samo, niesprytnymi przekształceniami uzyskujemy \(\displaystyle{ S_{n-1}= 3S_{n-2}-2+ 3}\)[ to samo, co w ostatnim składniku sumy na S_{n}, tyle że w nawiasach są mniejsze liczby o odpowiednio 2 x3, 2x5, ...] No i wylicza sięten nawias, dodaje się do tego \(\displaystyle{ 6 [S_{n-2}-2]}\) i wychodzi ten ostatni składnim sumy na Sn, wszystko się ładnie skraca
Tak samo, jak Ty, tylko ja nie zrobiłem 11... Po prostu jestem strasznie cienki ze stereometrii
Chociaż, jak się potem okazało, pomysł przełożenia na 2D był dobry... No ale nic
A 12..
Ja wyprowadziłem rekurencyjny wzór, \(\displaystyle{ S_{n} = 7 S_{n-1} - 6.}\)
To było chyba najbardziej schematyczne i pałowe zadanie, jakie widziałem na OM
Schemat rozw: Przyjmijmy sobie \(\displaystyle{ S_{n-2} = x_{1}^3 + x_{3}^3 + x_{5}^3 +....+ x_{n}^3.
S_{n-1} = x_{1}^3 + x_{2}^3 + x_{3}^3 +....+ x_{n}^3. (oczywiście x_{2}= x_{1}+x_{3} itd)
No i S_{n} = x_{1}^3 + (x_{2} + x_{1})^3 + x_{2}^3 +...+ (x_{n-1}+x_{n})^3 + x_{n}^3.}\)
I teraz po prostu rozpisuje się \(\displaystyle{ S_{n}.}\) I po paru niesprytnych przekształceniach wychodzi, że jest to
\(\displaystyle{ 6S_{n-1}-3S_{n-2}+6n-8 + 3[ x_{3}^2 (x_{2}+x_{4}) + x_{5}^2 ( x_{4}+x_{6})+.... +x_{n-2}^2 (x_{n-3}+x_{n-1})]}\)
I teraz Patrzysz, że \(\displaystyle{ S_{n-2}-2 = x_{3}^3 + x_{5}^3+....+x{n-2}^3.}\)
I tak samo, niesprytnymi przekształceniami uzyskujemy \(\displaystyle{ S_{n-1}= 3S_{n-2}-2+ 3}\)[ to samo, co w ostatnim składniku sumy na S_{n}, tyle że w nawiasach są mniejsze liczby o odpowiednio 2 x3, 2x5, ...] No i wylicza sięten nawias, dodaje się do tego \(\displaystyle{ 6 [S_{n-2}-2]}\) i wychodzi ten ostatni składnim sumy na Sn, wszystko się ładnie skraca
-
- Użytkownik
- Posty: 58
- Rejestracja: 2 gru 2010, o 10:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: koszalin
- Pomógł: 1 raz
LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap
Więc tak zad. 9 najprostsze
Zad.10 Mi wyszło tylko n=2, więc jakiś mam błąd
Zad.12 Jak myślicie ile dostanę punktów jeśli podałem bez dowodu rekurencję ale wzór wyprowadziłem.
Zad.11 Ja zrobiłem tak:
Jeśli SO jest prostopadła do płaszczyzny danej w zadaniu to jest prostopadła do każdego z tych odcinków.Jeśli zrzutujemy prostokątnie prostą SO to na mocy twierdzenia o trzech prostych prostopadłych powinna ona być prostopadła do wszystkich 3 odcinków, a spełnia to tylko wtedy gdy punkt o leży na wysokości SS". Wtedy tych rzutów możemy narysować "nieskończenie wiele". Jeśli O leży na wysokości to płaszczyzna dana w zadaniu powinna być równoległa do płaszczyzny podstawy. Środki ciężkości trójkątów leżą na tej samej wysokości, dochodzę do wniosku że trójkąty muszą być przystające. Z tego mamy takie same długości krawędzi podstawy, więc podstawa jest trójkątem równobocznym a to mieliśmy dowieść.
Zad.10 Mi wyszło tylko n=2, więc jakiś mam błąd
Zad.12 Jak myślicie ile dostanę punktów jeśli podałem bez dowodu rekurencję ale wzór wyprowadziłem.
Zad.11 Ja zrobiłem tak:
Jeśli SO jest prostopadła do płaszczyzny danej w zadaniu to jest prostopadła do każdego z tych odcinków.Jeśli zrzutujemy prostokątnie prostą SO to na mocy twierdzenia o trzech prostych prostopadłych powinna ona być prostopadła do wszystkich 3 odcinków, a spełnia to tylko wtedy gdy punkt o leży na wysokości SS". Wtedy tych rzutów możemy narysować "nieskończenie wiele". Jeśli O leży na wysokości to płaszczyzna dana w zadaniu powinna być równoległa do płaszczyzny podstawy. Środki ciężkości trójkątów leżą na tej samej wysokości, dochodzę do wniosku że trójkąty muszą być przystające. Z tego mamy takie same długości krawędzi podstawy, więc podstawa jest trójkątem równobocznym a to mieliśmy dowieść.
-
- Użytkownik
- Posty: 342
- Rejestracja: 31 maja 2008, o 19:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 28 razy
LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap
Chętnie zobaczyłbym klarowne i czytelne rozwiązanie 12., gdyby się komuś chciało. Też próbowałem to rozpisywać, ale coś mi nie szło - wyszło znacznie większe bagno niż wynika z tego co tutaj czytam.
W 10. ma ktoś nieparzysty przypadek inaczej niż z ogarniania najdłuższego odcinka i powtarzania rozumowania \(\displaystyle{ k}\) razy?
Moje w miarę kompletne rozwiązanie 10.:
W 10. ma ktoś nieparzysty przypadek inaczej niż z ogarniania najdłuższego odcinka i powtarzania rozumowania \(\displaystyle{ k}\) razy?
Moje w miarę kompletne rozwiązanie 10.:
Ukryta treść:
-
- Użytkownik
- Posty: 90
- Rejestracja: 3 paź 2010, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: War-Maz
- Podziękował: 14 razy
LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap
9
Jak wyżej Łatwo i przyjemnie
Co do 10
To zrobiłem tak, że najpierw wykazałem że jeżeli mamy 2 punkty to kolejne możemy dodawać parami czyli ogólnie, że nieparzyste odpadają. A potem napisałem "Udowadniam, że kolejne pary można dodawać w nieskończoność". Wykorzystałem koło, i chyba jakoś, że dodawając pary punktów tak, że będą stanowić średnice sprawi, że własność opisana w zadaniu będzie prawdziwa. A na kole punkty można dopisywać w nieskończoność.
11
Niby coś tam wykazałem, że wielokąt foremny w podstawie, ale nie wiem.
12
Nie miałem pojęcia... wyliczyłem tylko dla pierwszych trzech i wynalazłem wzór stosując metodę "zgaduj zgadula"
Jak wyżej Łatwo i przyjemnie
Co do 10
To zrobiłem tak, że najpierw wykazałem że jeżeli mamy 2 punkty to kolejne możemy dodawać parami czyli ogólnie, że nieparzyste odpadają. A potem napisałem "Udowadniam, że kolejne pary można dodawać w nieskończoność". Wykorzystałem koło, i chyba jakoś, że dodawając pary punktów tak, że będą stanowić średnice sprawi, że własność opisana w zadaniu będzie prawdziwa. A na kole punkty można dopisywać w nieskończoność.
11
Niby coś tam wykazałem, że wielokąt foremny w podstawie, ale nie wiem.
12
Nie miałem pojęcia... wyliczyłem tylko dla pierwszych trzech i wynalazłem wzór stosując metodę "zgaduj zgadula"
LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap
Moje rozwiązanie do zad. 12
Dalej dowód indukcyjny i chyba tyle
Ukryta treść:
-
- Użytkownik
- Posty: 342
- Rejestracja: 31 maja 2008, o 19:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 28 razy
LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap
Hmm...OK. To teraz jak już po wszystkim - jak oceniacie poziom tegorocznego pierwszego etapu?
Mnie osobiście wygląda na niższy - poza stereo, chyba 8 i jakimś cudem 12 nie było zadań które wymagałyby coś ponad taką niższą przeciętną. Nie oglądałem zbyt dużo pierwszych etapów, ale inne mi szły gorzej (może mniej motywacji miałem). No ale ja się nie znam, bardzo ciekawią mnie wasze (i jeśli macie, to np waszych opiekunów/nauczycieli) opinie.
Mnie osobiście wygląda na niższy - poza stereo, chyba 8 i jakimś cudem 12 nie było zadań które wymagałyby coś ponad taką niższą przeciętną. Nie oglądałem zbyt dużo pierwszych etapów, ale inne mi szły gorzej (może mniej motywacji miałem). No ale ja się nie znam, bardzo ciekawią mnie wasze (i jeśli macie, to np waszych opiekunów/nauczycieli) opinie.
-
- Użytkownik
- Posty: 270
- Rejestracja: 21 lis 2010, o 22:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 35 razy
LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap
Pierwszy start w OM, zrobiłem 4 zadania w tym jedno z małym błędem. I tak jest lepiej niż rok temu, kiedy nie potrafiłem ruszyć żadnego. No cóż, może za jeszcze jeden rok mi się coś uda
Żałuję trochę 10., bo robiłem jak Marcinek665, tylko z tym najdłuższym odcinkiem zaplątałem się i stwierdziłem, że nie tędy droga. Zresztą tak samo było z geometriami z serii 1 i 2, gdzie przy samych końcówkach wyszła moja ślepota i przede wszystkim brak doświadczenia w geometrii.
Pozdrawiam
Żałuję trochę 10., bo robiłem jak Marcinek665, tylko z tym najdłuższym odcinkiem zaplątałem się i stwierdziłem, że nie tędy droga. Zresztą tak samo było z geometriami z serii 1 i 2, gdzie przy samych końcówkach wyszła moja ślepota i przede wszystkim brak doświadczenia w geometrii.
Pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 122
- Rejestracja: 14 sty 2010, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: woj. Mazowieckie
- Podziękował: 7 razy
LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap
Ja mam z 3 serii 9,10,12
9 i 12 mam jak reszta ,10 trochę inaczej ale podobno dobrze
W sumie mam 9 z 12 , jestem zadowolony , na temat trudności zadań raczej się wypowiedzieć nie mogę bo to mój pierwszy start , jednakże zadania 1,3,9 były bardzo łatwe.
9 i 12 mam jak reszta ,10 trochę inaczej ale podobno dobrze
W sumie mam 9 z 12 , jestem zadowolony , na temat trudności zadań raczej się wypowiedzieć nie mogę bo to mój pierwszy start , jednakże zadania 1,3,9 były bardzo łatwe.
-
- Użytkownik
- Posty: 90
- Rejestracja: 3 paź 2010, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: War-Maz
- Podziękował: 14 razy
LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap
A ja mam pytanie, jak przekazują wyniki?
1) Czy przesyłają wyniki do szkoły? Ew. co zawierają, czy punkty za poszczególne zadania?
2) Gdzie wyniki są najpierw? W internecie czy w szkole?
3) Kiedy mniej więcej można się spodziewać wyników? Z tego co lukałem to w internecie, połowa stycznia?
1) Czy przesyłają wyniki do szkoły? Ew. co zawierają, czy punkty za poszczególne zadania?
2) Gdzie wyniki są najpierw? W internecie czy w szkole?
3) Kiedy mniej więcej można się spodziewać wyników? Z tego co lukałem to w internecie, połowa stycznia?
Ostatnio zmieniony 6 gru 2011, o 17:42 przez Patron, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap
Ja również nie mam się co wypowiadać, też pierwszy raz startuję, ale wydaję mi się że zadania ciut łatwiejsze niż z poprzednich OM.
Odnośnie trzeciej serii to moje zdanie jest takie:
zad 9. bardzo łatwe
zad 10. ujdzie, choć trochę się nad nim zeszło
zad 11. u mnie nic
zad 12. jak wszyscy
I moim zdaniem najfajniejsze zadanie z tegorocznego pierwszego etapu to bezkonkurencyjnie 12.
Zadanie 12
Odnośnie trzeciej serii to moje zdanie jest takie:
zad 9. bardzo łatwe
zad 10. ujdzie, choć trochę się nad nim zeszło
zad 11. u mnie nic
zad 12. jak wszyscy
I moim zdaniem najfajniejsze zadanie z tegorocznego pierwszego etapu to bezkonkurencyjnie 12.
Zadanie 12
Ukryta treść: