Niech
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} x \ dla \ x \ wymiernych \\ 2x \ dla \ x \ niewymiernych \end{cases}}\)
Sprawdź ciągłość funkcji z definicji Heinego.
zasugerowałem się dowodem na nieciągłość funkcji Dirchleta z https://www.matematyka.pl/86222.htm
Rozwiązanie:
Możemy wziąć dowolne \(\displaystyle{ x_{0}}\) i ciągi \(\displaystyle{ \alpha_{n}}\) \(\displaystyle{ \beta_{n}}\)
t. że:
\(\displaystyle{ \forall\limits_{n \in \mathbb{N}} \ \alpha_{n} \in \mathbb{Q}}\)
\(\displaystyle{ \forall\limits_{n \in \mathbb{N}} \ \beta_{n} \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}}\)
W dowolnym przedziale istnieje nieskończenie wiele liczb niewymiernych i wymiernych.
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n \to \infty} \ \alpha_{n} = \lim\limits_{n \to \infty} \ \beta_{n} =x_o}\)
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n \to \infty} \ \alpha_{n}=x}\)
\(\displaystyle{ \\lim\limits_{n \to \infty} \ \beta_{n}=2x}\)
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n \to \infty} \ f(\alpha_{n})=\lim\limits_{n \to \infty} \ f(\beta_{n}) \Leftrightarrow x=2x}\)
Funkcja jest ciągła tylko w punkcie 0.
Czy to rozumowanie jest dobre? Jeśli nie to jak rozwiązywać tego typu zadania?