Zbadać zbieżność szeregu.

[ugabuga333]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{ 2^{ \sqrt{n} } }}\)

[Chromosom]

zastosuj kryterium porównawcze

[ugabuga333]

hmmm ... zawsze było coś z \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) a teraz mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) ...
Szczerze mówiąc nie mam kompletnie pojęcia jak się za to zabrać :/

Próbowałem coś takiego, że \(\displaystyle{ \frac{1}{ 2^{ n^{ \frac{1}{2} } } } \ge \frac{1}{ \left( 2n\right) ^{?} }}\) żeby to jakoś przyrównać do rozbieżnego, ale nie wiem co miałbym wstawić za znak zapytania ... Ale to i tak chyba nie tędy droga :/.
Jakieś rady
???

[Zordon]

można pokazać, że jeśli n jest dostatecznie duże, to \(\displaystyle{ 2^{\sqrt{n}}>n^2}\)

[ugabuga333]

A ta nierówność to przypadkiem nie powinna być w drugą stronę ?-- 4 gru 2011, o 22:13 --\(\displaystyle{ 2^{\sqrt{n}}<n^2}\)
?

[Zordon]

W drugą stronę będzie prawdziwa tylko dla skończenie wielu \(\displaystyle{ n}\), co w przypadku szeregów jest pomijalne.

[ugabuga333]

\(\displaystyle{ 2^{\sqrt{n}}>n^2}\) No ale przecież ta nierówność działa tylko dla \(\displaystyle{ n=1}\) .
Jak weźmiemy \(\displaystyle{ n=2,3,4 \ldots}\)to przecież ta nierówność nie zachodzi.

[Chromosom]

proponuję \(\displaystyle{ n=10000}\), wtedy mamy \(\displaystyle{ 2^{100}}\) oraz \(\displaystyle{ 10000^2=10^8}\), szacując natomiast pierwszą liczbę mamy \(\displaystyle{ 2^{100}=1024^{10}\approx10^{30}}\).

[ugabuga333]

ahaś ... no rzeczywiście ... a można robić coś takiego, że brać dla dostatecznie dużych " n " ?
Bo w szeregu mamy, że zaczynamy od n=1 to nic to nie zmieni w zbieżności szeregu jak se weźmiemy nagle przykładowo od n=10000
???

[Chromosom]

nic nie zmieni

[Zordon]

zbieżności to nie zmieni, to wynika z definicji granicy

[Kukis]

Zordon wyraźnie napisał przecież. Krysicki Włodarski tom 1 strona 45. Kryterium porównawcze zbieżności/rozbieżności szeregów. Jest wyraźnie napisane, "że począwszy od pewnego miejsca N (tzn. dla każdego \(\displaystyle{ n \ge N}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ u_{n} \ge v_{n}}\)". Czyli może być to nawet 100000 czy ile sobie wymyślisz.

[ugabuga333]

No to praktycznie jest już po zadaniu tak ?
No bo teraz mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{ n^{2} } > \frac{1}{ n^{ \sqrt{n} } }}\)
Więc \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{ 2^{ \sqrt{n} } }}\) jest zbieżny.

Tak ?-- 4 gru 2011, o 22:33 --\(\displaystyle{ \frac{1}{ n^{2} } > \frac{1}{ 2^{ \sqrt{n} } }}\) *

[Zordon]

No ale musisz udowodnić tamtą nierówność, w matematyce nie należy ufać innym.

[ugabuga333]

A jak się pisze dowód czegoś takiego ?
Nie wystarczy znaleźć jakiejś przykładowej liczby np. rozpisać to w ten sposób jak zrobił to Chromosom ? I Napisać, że począwszy od \(\displaystyle{ n=10000}\) ta równość będzie zachodziła
?-- 4 gru 2011, o 23:06 --???