Udowodnić indukcyjnie nierówność

[myszka666]

Udowodnić indukcyjnie nierówność:
\(\displaystyle{ \left( 1+a\right) ^{n} \ge 1+na+ \frac{n\left( n-1\right) }{2} a^{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ a \ge 0}\)

[Lider Artur]

1. Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ 1+a \ge 1+a}\) prawda.
2.Założenie indukcyjne: prawdziwość dla \(\displaystyle{ n=k}\), czyli:
\(\displaystyle{ \left( 1+a\right) ^{k} \ge 1+ka+ \frac{k\left( k-1\right) }{2} a^{2}}\)
3.Teza: prawdziwość dla \(\displaystyle{ n=k+1}\), czyli
\(\displaystyle{ \left( 1+a\right) ^{k+1} \ge 1+(k+1)a+ \frac{(k+1)\left( (k+1)-1\right) }{2} a^{2}}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ \left( 1+a\right) ^{k+1}=\left( 1+a\right) ^{k}\cdot \left( 1+a\right) \ge (1+ka+ \frac{k\left( k-1\right) }{2} a^{2})\cdot\left( 1+a\right)=...}\)

[myszka666]

A będzie dobrze jeżeli tak zapiszę:
\(\displaystyle{ \left( 1+ka+ \frac{k\left( k+1\right) }{2} a^{2}\right) \left( 1+a\right) \ge 1+\left( k+1\right)a+ \frac{\left( k+1\right)\left( \left( k+1\right)-1 \right) }{2} a^{2}}\)?

[Lider Artur]

a na jakiej zasadzie tak zapisałes? z czego skorzystałes?

[myszka666]

próbowałam coś rozpisać ale nie rozumiem sposobu udowadniania nierówności indukcyjnie, co ma być od czego większe

[Lider Artur]

Chcemy udowodnić nierówność podaną w tezie.
Zatem wychodzimy od lewej strony tej nierówności, szacując ją z z dołu (m.in. przy pomocy korzystania z indukcji matematycznej) chcemy otrzymać prawą stronę nierówności zadaną w tezie.

[myszka666]

Ok, a mógłbyś dokończyć rozwiązanie? Może wtedy zrozumiem.