Granica funkcji z funkcją potęgową

chechlacz · Post autor: **chechlacz** » 3 gru 2011, o 20:06

Udowodnić (nie korzystając z reguły de l'Hospitala, jak najbardziej elementarnie), że \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0}\frac{a^h - 1}{h} = \ln a}\).

Post autor: **Chromosom** » 3 gru 2011, o 20:42

Znana granica. Skorzystaj z definicji liczby \(\displaystyle{ e}\). Gdyby okazało się to niewystarczające, podstaw: \(\displaystyle{ a^h-1=\frac1t}\).

Warto dodać, że korzystanie z twierdzenia de l'Hospitala nie jest poprawne w przypadku tej granicy.

chechlacz · Post autor: **chechlacz** » 3 gru 2011, o 21:28

Dzięki wielkie za szybką odpowiedź i pomocnego hinta

BTW: Dlaczego nie można tutaj skorzystać z reguły de l'Hospitala? Licznik i mianownik zbiegają do zera, obie te rzeczy mają skończone pochodne w punkcie 0, wydaje mi się, że wszystko jest OK. Ale nie jestem w 100 % pewien, bo nie jestem dobrze zaznajomiony z tym twierdzeniem i stąd moje pytanie.

Post autor: **Chromosom** » 3 gru 2011, o 21:29

Napisz ile wynosi pochodna \(\displaystyle{ f(x)=a^x}\). Następnie napisz, skąd wiesz, że akurat tyle.

chechlacz · Post autor: **chechlacz** » 3 gru 2011, o 21:35

Ach, faktycznie, to głupi pomysł dowodzić tezę korzystając z prawdziwości tezy