Udowodnienie nierówność

[aerow]

Proszę o sprawdzenie mojego rozwiązania zadania:
Pokaż, że dla każdego \(\displaystyle{ x>1}\) zachodzi nierówność:

\(\displaystyle{ 2\ln x<x- \frac{1}{x}}\)

Dla \(\displaystyle{ x=1}\) funkcja \(\displaystyle{ f(x)=2\ln x}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)=x- \frac{1}{x}}\) więc dla \(\displaystyle{ x>1}\) większa będzie ta której pochodna jest większa.
\(\displaystyle{ \frac{2}{x} < \frac{1}{x^{2}+1} / \cdot (x^{2}})}\)
\(\displaystyle{ 2x<1+x^{2}}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^{2}>0}\)
Uwzględniając fakt, że\(\displaystyle{ x>1}\) nierówność jest prawdziwa.

[Qń]

Niejasno sformułowany punkt wyjścia, źle policzona pochodna, nieczytelna struktura logiczna dowodu.

Q.