Granica ciągu

[tomaszamd]

Korzystając z definicji granicy ciągu, wykazać:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to0 } \frac{1}{ \sqrt{n} } =0}\)

Doszedłem do czegoś takiego "na bazie" przykładowych zadań z Fichtenholza.

\(\displaystyle{ \left| X_{n}-a \right| < \epsilon}\)


\(\displaystyle{ \left| X_{n} \right| < \epsilon}\), gdzie a=0

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{n} } = \frac{1}{ n^{ \frac{1}{2} } }< \frac{1}{n} < \epsilon}\) , czyli wyrażenie jest mniejsze niż \(\displaystyle{ \epsilon}\) dla

\(\displaystyle{ n> N_{\epsilon} = \left[ \frac{1}{\epsilon} \right]
X_{n} \rightarrow 0}\)

Czy to jest prawidłowe rozwiązanie ? Najpierw obliczam \(\displaystyle{ \left| X_{n} -a \right|}\), następnie upraszczam do postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) i kończę sztandarowo " dla

\(\displaystyle{ n> N_{\epsilon} = \left[ \frac{1}{\epsilon} \right]X_{n} \rightarrow 0}\)"


Ew. Prosiłbym o rozpisanie w pkt co i jak mam robić abym był w stanie samodzielnie robić resztę przykładów.

Z góry dzięki.
Pozdrawiam Tomcio

[mostostalek]

\(\displaystyle{ \frac{1}{ n^{ \frac{1}{2} } }> \frac{1}{n}}\)

-- 2 grudnia 2011, 21:01 --

poza tym to nie jest korzystanie z definicji granicy..

wystarczy za \(\displaystyle{ N}\) przyjąć \(\displaystyle{ N=\frac{1}{\varepsilon^2}}\).

Wtedy dla wszystkich wskaźników \(\displaystyle{ n>N}\) zachodzi:

\(\displaystyle{ n>\frac{1}{\varepsilon^2} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{n}}<\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\varepsilon^2}}}=\varepsilon}\)

[tomaszamd]

czyli musze tak dobierac \(\displaystyle{ \epsilon}\), aby był spełniony warunek \(\displaystyle{ n>N}\)??




i jeszcze mam problem z granica

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ 2^{ \sqrt{n+1} } }{ 2^{ \sqrt{n} } }}\)

[mostostalek]

nie.. musisz tak dobierać \(\displaystyle{ N}\), żeby \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n}}<\varepsilon}\)

2. wskazówka:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\frac{2^{\sqrt{n+1}}}{2^{\sqrt{n}}}=2^{\lim (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}}\)