nierówność z dwoma niewiadomymi

[marugan]

Jak rozwiązać taką nierówność:

\(\displaystyle{ \log_{x} (\log _{x}y ) >0}\)

Zaczęłam od ustalenia dziedziny i tak:
\(\displaystyle{ x \in (0;1) \cup (1;+ \infty )}\)
\(\displaystyle{ y \in (0;1) \cup (1;+ \infty)}\)

Myślałam o rozważeniu przypadków w zależności od x, ale utknęłam. Uzyskałam tylko tyle, że dla \(\displaystyle{ x \in (0;1) \Rightarrow y \in (0;1)}\)
Pomocy ? Poproszę

[JankoS]

Co do dziedziny, to \(\displaystyle{ y>0.}\)
Rozważam dwa przypadki
\(\displaystyle{ (I) \ x \in (0;1)}\) lub \(\displaystyle{ (II) \ x \in (1;+ \infty )}\)
\(\displaystyle{ (I) \ \log_{x} (\log _{x}y ) >0=log_x1 \Leftrightarrow \log _{x}y<1=log_xx \Leftrightarrow y>x.}\)
Przypuszczam, że dla \(\displaystyle{ x \in (1;+ \infty )}\) wyjdzie \(\displaystyle{ y<x}\), ale wtedy musimy dodać ograniczenie z dziedziny i ostatecznie \(\displaystyle{ 0<y<x.}\)

[anna_]

\(\displaystyle{ y}\) może być równe \(\displaystyle{ 1}\)?

Wydaje mi się, że powinno być:
Przy wyznaczaniu dziedziny z warunku \(\displaystyle{ \log _{x}y >0}\)
\(\displaystyle{ \log _{x}y >log_x1}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x\in(0,1) \\ y<1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x>1 \\ y>1 \end{cases}}\)

1. dla \(\displaystyle{ \begin{cases} x\in(0,1) \\ y<1\\y>0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \log_{x} (\log _{x}y ) >0}\)
\(\displaystyle{ \log_{x} (\log _{x}y ) >log_x1}\)

\(\displaystyle{ \log _{x}y <1}\)

\(\displaystyle{ \log _{x}y <log_xx}\)

\(\displaystyle{ y>x}\)

2. dla \(\displaystyle{ \begin{cases} x>1 \\ y>1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \log_{x} (\log _{x}y ) >0}\)
\(\displaystyle{ \log_{x} (\log _{x}y ) >log_x1}\)

\(\displaystyle{ \log _{x}y >1}\)

\(\displaystyle{ \log _{x}y > \log_xx}\)
\(\displaystyle{ y>x}\)

AU

96021762ee1fa7d8med.png (88.69 KiB) Przejrzano 66 razy

[/url]
Linie powinny być przerywane

[JankoS]

\(\displaystyle{ y}\) może być równe \(\displaystyle{ 1}\)?

Tak jest y ma być różne od 1.
Drugiej części nie rozwiąztwałem, dlatego napisałem "przypuszczam". Jak wykazała Koleżanka przypuszczenie okazało się być fałszywe.
Pozdrawiam.