Szereg Taylora

[AFL]

Witam,
mam problem z pewnym zadaniem, a mianowicie:
rozwinąć w szreg Taylora funkcję \(\displaystyle{ f\left(x \right)=\frac{1}{1-{x}^{2}}}\) w punktach \(\displaystyle{ x _{o}=-2}\) oraz \(\displaystyle{ x _{o} =2}\).

Po podstawieniu \(\displaystyle{ t={x}^{2}}\) otrzymuje \(\displaystyle{ f\left(x \right)=\frac{1}{1-t}}\).
\(\displaystyle{ {f}^{(n)}(t)=\frac{n!}{{(1-t)}^{n}}}\)

\(\displaystyle{ {f}^{(n)}(x)=\frac{n!}{{(1-{x}^{2})}^{n}}}\)

Współczynnik \(\displaystyle{ a _{n}}\) zarówno dla \(\displaystyle{ x _{o}=-2}\) oraz \(\displaystyle{ x _{o}=2}\) wynosi:

\(\displaystyle{ {a}_{n}=\frac{{f}^{(n)}(-2)}{n!}=\frac{{(-1)}^{n}}{{3}^{n}}}\)

Rozwinięcie w szereg Taylora:

w \(\displaystyle{ x _{o}=-2}\): \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n}}{{3}^{n}}{(x+2)}^{n}}\)

w \(\displaystyle{ x _{o}=2}\): \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n}}{{3}^{n}}{(x-2)}^{n}}\)

Rozwiązanie powinno wyjść:

w \(\displaystyle{ x _{o}=-2}\): \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{{3}^{n+1}}-1 \right){(x+2)}^{n}}\)

w \(\displaystyle{ x _{o}=2}\): \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{{3}^{n+1}}-1 \right){(x-2)}^{n}}\)

Czy mógłby mi ktoś powiedzieć co robię źle?

Pozdrawiam

[BettyBoo]

\(\displaystyle{ {f}^{(n)}(x)=\frac{n!}{{(1-{x}^{2})}^{n}}}\)

To nieprawda. To jest wzór na \(\displaystyle{ {f}^{(n)}(x^2)}\).

Wzór na \(\displaystyle{ {f}^{(n)}(x)}}\) musisz wyznaczyć z wyjściowej funkcji, nie możesz sobie podstawiać.

Pozdrawiam.

[AFL]

Dzięki za odpowiedź.

Lecz gdybym miał rozwinąć tą samą funkcję w szereg Maclaurina
i znów wukorzystałbym podstawienie \(\displaystyle{ t={x}^{2}}\) otrzymam poprawny wynik:

\(\displaystyle{ {f}^{(n)}(t)=\frac{n!}{{(1-t)}^{n}}}\)

\(\displaystyle{ {f}^{(n)}(0)=n!}\)

\(\displaystyle{ {a}_{n}=1}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} t^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}}\)

W związku z tym mam pytanie, kiedy można stosować takie podstawianie?
Domyślam się, że ma to związek z tym, iż dla szeregu Maclaurina \(\displaystyle{ x=0}\), także \(\displaystyle{ t=0}\).

Pozdrawiam

[BettyBoo]

Tak naprawdę w tym drugim przypadku rozwijasz \(\displaystyle{ g\left(t \right)=\frac{1}{1-t}}\). Ponieważ jednak rozwinięcie jest jednoznaczne oraz \(\displaystyle{ f\left(x \right)=g(x^2)=\frac{1}{1-x^2}}\) i ma to odpowiednią postać, to jest to rozwinięcie \(\displaystyle{ f(x)}\).

Pozdrawiam.
PS To, co zrobiłeś w pierwszym poście to jakieś pomieszanie z poplątaniem generalnie Podstawianie do tego wzoru \(\displaystyle{ x_0}\) było nieuprawnione (patrz mój post wyżej).