granice 3 ciągów

[Przemas O'Black]

1 Proszę o wskazanie, gdzie mam błąd.
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (1- \frac{3}{n} ) ^{n} = \lim_{ n\to \infty } [(1- \frac{3}{n} ) ^{ \frac{-n}{3} } ]^{-3} = e^{-3}}\)

2 \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } ( \frac{ n^{2} +2}{1+ 2n^{2} }) ^{ n^{2} }}\)
Rozbić na ułamek niewłaściwy i skorzystać z "e"?
Bo tą metodą wyszłoby mi \(\displaystyle{ e ^{ \frac{- n^{4} + n^{2} }{1+2n ^{2} } }}\), czyli jakaś bzdura.

3 \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt{n ^{10} -2n ^{2}+2 }}\)
Nie mam pomysłu.

[abc666]

Drugie, nie rób schematycznie, to co masz w nawiasie nie dąży do 1 tylko do \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) a \(\displaystyle{ \left[ \left( \frac{1}{2} \right)^\infty \right] =0}\)

W 3. wyciągnij \(\displaystyle{ n^10}\) pod pierwiastkiem a potem wyłącz to z pod pierwiastka

[Przemas O'Black]

Tylko że w zadaniu 2 miało wyjść \(\displaystyle{ e ^{ \frac{3}{2} }}\).
Pierwsze mam dobrze, czy tak jak w odpowiedziach powinno jednak wyjść \(\displaystyle{ e ^{- \frac{1}{3} }}\) ?

W zadaniu 3 Twoją metodą mi wyszła nieskończoność, co nawet wydaje się logiczne, ale zgubne, bo prawidłowa odpowiedź to 1:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt{ n^{10} -2n ^{2} +2} = \sqrt{n ^{10}(1- \frac{2}{ n^{8}} + \frac{2}{n ^{10} } ) } = n ^{5} = \infty}\)
Wiem, po drodze powinny być jeszcze znaczki limesów.

[abc666]

Pierwsze masz dobrze, w drugim jest na 100% zero, zresztą postać do której doprowadziłeś jest też poprawna bo \(\displaystyle{ [e^{- \infty}=0]}\)

Najlepiej zrób sobie taki przykład
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left(1+ \frac{a}{n} \right) ^n}\) gdzie a to jakaś stała, z tego co ci wyjdzie warto jest korzystać licząc przykłady dużo szybciej

[Przemas O'Black]

Pierwsze masz dobrze, w drugim jest na 100% zero, zresztą postać do której doprowadziłeś jest też poprawna bo \(\displaystyle{ [e^{- \infty}=0]}\)

Też mi tak intuicja podpowiadała, ale w odpowiedziach jest napisane co innego.

Najlepiej zrób sobie taki przykład
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left(1+ \frac{a}{n} \right) ^n}\) gdzie a to jakaś stała, z tego co ci wyjdzie warto jest korzystać licząc przykłady dużo szybciej

Przeliczyłem kilkadziesiąt granic i wśród nich były tego typu przykłady, z których korzystałem, ale nie zawsze wystarczają. Niektóre zadania z podręcznika do analizy Krysickiego dotyczące granic wymagają jednak trochę innych spostrzeżeń.

Przyjmuję, że tak to trzeba zrobić i już.

Dziękuję, abc666

[abc666]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt{ n^{10} -2n ^{2} +2} = \infty}\)

to także jest ok, nie możliwe żeby było 1

[Noqa]

Upewnij sie, czy nie bierzesz odpowiedzi do innego zadania.
Jeśli nie to znaczy, że w odpowiedziach jest błąd.

[Przemas O'Black]

nie to znaczy, że w odpowiedziach jest błąd.

[sesese]

ad 1 blad tez to mialem sprawdzalem musi byc blad

[Przemas O'Black]

ad 1 blad tez to mialem sprawdzalem musi byc blad

To w końcu błąd gdzie? U mnie czy w książce?

[miki999]

To w końcu błąd gdzie? U mnie czy w książce?

W książce.


Pozdrawiam.

[sesese]

\(\displaystyle{ (1- \frac{1}{n} )^{n}= \frac{1}{e}}\)

[Rogal]

To jest niejako standardowy błąd w Krysickim, Włodarskim - podejrzewam albo literówkę w treści zadania albo celowo jest odpowiedź z tyłu mylna, żeby zasiać wątpliwość i zmusić ucznia do przyjrzenia się swemu rozumowaniu jeszcze raz