Obliczyć argument liczby zespolonej

DDevil · Post autor: **DDevil** » 7 lis 2011, o 19:52

Jak przedstawić \(\displaystyle{ arg(1-z)}\) za pomocą \(\displaystyle{ arg(z)}\)?

octahedron · Post autor: **octahedron** » 8 lis 2011, o 01:35

Za pomocą samego \(\displaystyle{ \arg(z)}\) się nie da, bo \(\displaystyle{ \arg(1-z)}\) zależy też od modułu \(\displaystyle{ z}\)

DDevil · Post autor: **DDevil** » 13 lis 2011, o 21:00

octahedron pisze:Za pomocą samego \(\displaystyle{ \arg(z)}\) się nie da, bo \(\displaystyle{ \arg(1-z)}\) zależy też od modułu \(\displaystyle{ z}\)

Bzdura, ale to nic... Doszedłem do tego, dzięki za próbę pomocy.

octahedron · Post autor: **octahedron** » 14 lis 2011, o 01:32

No to weźmy \(\displaystyle{ z=ki,\ k\in R}\). Dla dowolnego \(\displaystyle{ k<0}\) mamy \(\displaystyle{ \arg(z)=-\frac{\pi}{2}}\), natomiast \(\displaystyle{ \arg(1-z)}\) zmienia się w funkcji \(\displaystyle{ k}\) w zakresie \(\displaystyle{ \left( 0;\frac{\pi}{2}\right)}\)

DDevil · Post autor: **DDevil** » 14 lis 2011, o 18:01

Bardzo dobrze, ale zakładać to sobie można w szkole podstawowej. \(\displaystyle{ arg(1-z) = arg[-1(z-1)]= \pi + arg(z-1) +2k \pi}\), gdzie \(\displaystyle{ -1}\) przy \(\displaystyle{ arg(z)}\) to tylko przesunięcie na osi OX. Zapisane za pomocą \(\displaystyle{ arg(z)}\)?

octahedron · Post autor: **octahedron** » 14 lis 2011, o 19:18

Nie. We wzorze jest \(\displaystyle{ \arg(z-1)}\), a nie \(\displaystyle{ \arg(z)}\). I nie rozumiem, co oznacza "tylko przesunięcie na osi OX", skoro to zmienia argument. Nie widzę tu nigdzie wzoru \(\displaystyle{ \arg(1-z)=f(\arg(z))}\)

DDevil · Post autor: **DDevil** » 25 lis 2011, o 21:13

Dlaczcego funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x+1}\) nie zapisujesz jako \(\displaystyle{ x+1=f(x+1)}\)? Przecież to głupota. A zapis \(\displaystyle{ arg(z+1)}\) nie zmienia wartości argumentu, tylko wartość liczby zespolonej z. Wykresy dla funkcji czy też na przykład nierówności przyjmują takie same wartości dla \(\displaystyle{ arg(z)}\) i \(\displaystyle{ arg(z+1)}\). Warto zauważyć, że \(\displaystyle{ arg(z)}\) to kąt, który ma taką samą wartość, nieważne, czy narysujesz sobie prostą przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\), czy jakąkolwiek prostą do tej równoległą - czyli przesuniętą na osi OX.

Mam nadzieję, że teraz trochę bardziej to rozjaśniłem.

Post autor: **Lorek** » 25 lis 2011, o 23:15

DDevil pisze:Dlaczcego funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x+1}\) nie zapisujesz jako \(\displaystyle{ x+1=f(x+1)}\)? Przecież to głupota.

Dlaczego?

A zapis \(\displaystyle{ arg(z+1)}\) nie zmienia wartości argumentu, tylko wartość liczby zespolonej z. Wykresy dla funkcji czy też na przykład nierówności przyjmują takie same wartości dla \(\displaystyle{ arg(z)}\) i \(\displaystyle{ arg(z+1)}\).

Przecież octahedron obalił to kontrprzykładem (chociaż stwierdziłeś, że kontrprzykłady to tylko w podstawówce, więc możesz go nie uznawać).

To, że możesz narysować np. \(\displaystyle{ \arg (z+1)=1}\) korzystając z \(\displaystyle{ \arg z=1}\) to nie znaczy, że jest między nimi jakaś prosta zależność (w sensie taka, że \(\displaystyle{ \arg (z+1)}\) można wyrazić przy pomocy jakiejś funkcji \(\displaystyle{ f(\arg z)}\) .

octahedron · Post autor: **octahedron** » 26 lis 2011, o 02:15

Z definicji \(\displaystyle{ \arg(z)}\) to kąt, jaki tworzy z dodatnią połosią rzeczywistą wektor poprowadzony z początku układu współrzędnych do punktu \(\displaystyle{ z}\). Mam wrażenie, że mylisz argument ze współczynnikiem kierunkowym prostej.

DDevil · Post autor: **DDevil** » 26 lis 2011, o 20:34

Dobrze, skoro kontrprzykłady są dobre, proponuję taki: narysujmy wykresy dwóch nierówności: \(\displaystyle{ arg(z) \le \frac{ \pi }{4}}\) i \(\displaystyle{ arg(z-1) \le \frac{ \pi }{4}}\). Jak różnią się kąty między poprowadzonymi liniami, a osią \(\displaystyle{ Re(z)}\)? Wcale, są takie same. Właśnie ten kąt to wartość \(\displaystyle{ arg(z)}\).

A teraz drugi przykład: narysujmy nierówność \(\displaystyle{ arg(1-z) \le \frac{ \pi }{4}}\). W stosunku do poprzednich nierówności wartości zmieniają się o wartość \(\displaystyle{ - \pi -2k \pi}\), ale to udowodniłem już w trzecim poście.

Czyli pierwszy przykład udowadnia, że nie ma różnicy między argumentami liczb \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ z+1}\) dla określonych nierówności, a drugi przykład udowadnia, że nic tu nie zależy od modułu liczby zespolonej \(\displaystyle{ z}\), ale od stałej dla tego typu sytuacji (a ta sytuacja to liczba przeciwna do liczby \(\displaystyle{ z}\)).-- 26 lis 2011, o 20:36 --

octahedron pisze:Z definicji \(\displaystyle{ \arg(z)}\) to kąt, jaki tworzy z dodatnią połosią rzeczywistą wektor poprowadzony z początku układu współrzędnych do punktu \(\displaystyle{ z}\). Mam wrażenie, że mylisz argument ze współczynnikiem kierunkowym prostej.

Niewiarygodnie podobna jest definicja współczynnika kierunkowego prostej, z tym, że nie znajdziesz tam nic o liczbach zespolonych.

Post autor: **Lorek** » 26 lis 2011, o 20:52

DDevil pisze:Jak różnią się kąty między poprowadzonymi liniami, a osią \(\displaystyle{ Re(z)}\)? Wcale, są takie same.

To jest prawda.

Właśnie ten kąt to wartość \(\displaystyle{ arg(z)}\).

To nie jest prawda.

octahedron pisze:Z definicji \(\displaystyle{ \arg(z)}\) to kąt, jaki tworzy z dodatnią połosią rzeczywistą wektor poprowadzony z początku układu współrzędnych do punktu \(\displaystyle{ z}\). Mam wrażenie, że mylisz argument ze współczynnikiem kierunkowym prostej.
Niewiarygodnie podobna jest definicja współczynnika kierunkowego prostej, z tym, że nie znajdziesz tam nic o liczbach zespolonych.

Jak może być podobna, jak przy argumencie masz kąt o wierzchołku w początku układu a przy współczynniku kierunkowym tangens kąta nachylenia prostej do osi OX? Ja tu widzę dwie znaczące różnice.

A teraz drugi przykład: narysujmy nierówność \(\displaystyle{ arg(1-z) \le \frac{ \pi }{4}}\). W stosunku do poprzednich nierówności wartości zmieniają się o wartość \(\displaystyle{ - \pi -2k \pi}\), ale to udowodniłem już w trzecim poście.

Czego wartości się zmienią?

Czyli pierwszy przykład udowadnia, że nie ma różnicy między argumentami liczb \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ z+1}\) dla określonych nierówności,

Czyli co, \(\displaystyle{ \arg z=t}\) to to samo co \(\displaystyle{ \arg (z+1)=t}\) czy o co chodzi w tym zdaniu?

a drugi przykład udowadnia, że nic tu nie zależy od modułu liczby zespolonej \(\displaystyle{ z}\), ale od stałej dla tego typu sytuacji (a ta sytuacja to liczba przeciwna do liczby \(\displaystyle{ z}\)).

Zależność między \(\displaystyle{ \arg z}\) i \(\displaystyle{ \arg(-z)}\) istnieje. Prosta zależność między \(\displaystyle{ \arg z}\) i \(\displaystyle{ \arg (z-1)}\) nie.

DDevil · Post autor: **DDevil** » 27 lis 2011, o 10:16

Prostą o określonym współczynniku też można "przenieść" tak, by przecinała początek układu współrzędnych, wtedy kąt między tą prostą, a osią OX będzie kątem o wierzchołku w środku układu współrzędnych i nie zmieni swojej wartości w stosunku do wyjściowej prostej. Dowód? \(\displaystyle{ f(x)=x+1}\) i \(\displaystyle{ f(x)=x}\) mają takie same współczynniki kierunkowe, a więc takie same kąty.

Cytuj:
Właśnie ten kąt to wartość .

To nie jest prawda.

To, że ten kąt to wartość \(\displaystyle{ arg(z)}\), jest prawdą. Wynika to z definicji.

Wiem już, z czego wynika ta różnica zdań. Wam, panowie, wydaje się, że chodzi tu o zmienność \(\displaystyle{ arg(z)}\). Natomiast w tym kontekście \(\displaystyle{ arg(z)}\) jest wartością stałą, zmienia się natomiast wartość liczby zespolonej \(\displaystyle{ z}\). Z resztą, straszne dziwne jest rozpatrywanie zmienności argumentu.

Post autor: **Lorek** » 27 lis 2011, o 13:12

DDevil pisze: To, że ten kąt to wartość \(\displaystyle{ arg(z)}\), jest prawdą. Wynika to z definicji.

Znaczy definicją \(\displaystyle{ \arg z}\) jest "kąt nachylenia prostej do osi"? No, ciekawa definicja...

Natomiast w tym kontekście \(\displaystyle{ arg(z)}\) jest wartością stałą, zmienia się natomiast wartość liczby zespolonej \(\displaystyle{ z}\)

No dobra, załóżmy, że mamy zbiór \(\displaystyle{ \{z: \arg z=\varphi_0\}}\) (\(\displaystyle{ \varphi_0}\) możesz sobie dowolnie wybrać).
Ile w takim razie wynosi \(\displaystyle{ \arg(z+1)}\) lub \(\displaystyle{ \arg(z-1)}\) dla liczb z tego zbioru?

DDevil · Post autor: **DDevil** » 27 lis 2011, o 20:22

TAK, wartość \(\displaystyle{ arg(z)}\) to wartość kąta między wektorem liczby zespolonej \(\displaystyle{ z}\), a osią OX, dokładnie jej dodatnią częścią. Jeśli już czepiasz się słówek - wektor ten leży na pewnej prostej i stąd \(\displaystyle{ arg(z)}\) to kąt między tą prostą, a osią OX.

W Twoim przykładzie wartość \(\displaystyle{ arg(z)}\) zmienia się zgodnie ze zmianą wartości \(\displaystyle{ cos \varphi}\). Gratuluję. Wciąż nie rozumiesz.

Przykład, który byłby zgodny z kontekstem pytania, które zadałem, wyglądałby tak:

Mamy zbiór \(\displaystyle{ \left\{ z:arg(z)=\varphi\right\}}\). Jak zmieni się ten zbiór dla \(\displaystyle{ arg(z+1)=\varphi}\)?

Post autor: **Lorek** » 27 lis 2011, o 20:32

między tą prostą, a osią OX.

Tą prostą, która przechodzi przez początek układu. I to jest ważne, jak przesuniesz prostą to już nie będzie przechodziła przez środek i nie możesz mierzyć względem niej.

Przykład, który byłby zgodny z kontekstem pytania, które zadałem, wyglądałby tak:

Mamy zbiór \(\displaystyle{ \left\{ z:arg(z)=\varphi\right\}}\). Jak zmieni się ten zbiór dla \(\displaystyle{ arg(z+1)=\varphi}\)?

A, no to dla takiego pytania twoje rozważania są słuszne. Tylko że pierwotne pytanie brzmiało

Jak przedstawić \(\displaystyle{ arg(1-z)}\) za pomocą \(\displaystyle{ arg(z)}\)?