Witam, czy orientuje się ktoś w jakiej książce mogę znaleźć dowód tw. Schimdta o ortogonalizacji? Lub w jaki sposób je dowieść?
Treść tw.:
Niech układ przeliczalny \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, \cdots}\) elementów przestrzeni unitarnej \(\displaystyle{ X}\) będzie taki, że dla każdego \(\displaystyle{ n}\), elementy \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, \cdots , x_{n}}\) są liniowo niezależne. Wtedy istnieje jedna i tylko jedna macierz trójkątna nieskończona
\(\displaystyle{ a_{11}}\)
\(\displaystyle{ a_{21}}\) \(\displaystyle{ a_{22}}\)
\(\displaystyle{ a_{31}}\) \(\displaystyle{ a_{32}}\) \(\displaystyle{ a_{33}}\)
\(\displaystyle{ \cdots}\)
że \(\displaystyle{ a_{nn} >0}\) dla każdego \(\displaystyle{ n}\), dla której elementy
\(\displaystyle{ y_1=a_{11} x_1}\)
\(\displaystyle{ y_2=a_{21} x_1 + a_{22} x_2}\)
\(\displaystyle{ y_3=a_{31} x_1 + a_{32} x_2 + a_{33} x_3}\)
\(\displaystyle{ \cdots}\)
tworzą układ ortonormalny w \(\displaystyle{ X}\).