Całkowalność funkcji monotonicznej wielu zmiennych

tom_ash777 · Post autor: **tom_ash777** » 26 lis 2011, o 06:42

Jak udowodnić, że funkcja $\displaystyle{ $f: {\mathbb{R}}^n \rightarrow \mathbf{R}$}$ niemalejąca względem każdej zmiennej z osobna jest całkowalna po dowolnej kostce w $\displaystyle{ ${\mathbb{R}}^n$}$ ?

sdamian · Post autor: **sdamian** » 27 lis 2011, o 22:22

(Trochę już mogę mieć luki w pamięci (dosyć długo nie korzystałem z takich teoretycznych rzeczy), ale) może by tak? :

Ponieważ f jest niemalejąca na danej kostce względem każdej ze zmiennych - czyli jest monotoniczna względem każdej ze zmiennych, zatem zbiór punktów nieciągłości funkcji f względem każdej ze zmiennych jest przeliczalny, czyli zbiór punktów nieciągłości funkcji f zawarty kostce jest przeliczalny, więc zbiór ten ma miarę Lebesgue'a równą zero, zatem f jest całkowalna (w sensie Riemanna) na danej kostce.

Prosiłbym kogoś o sprawdzenie rozumowania

?

Adifek · Post autor: **Adifek** » 29 lis 2011, o 20:33

Nie do końca dobrze. Wystarczy, że masz funkcję $\displaystyle{ f: \quad\left[ 0,2\right] \times \left[ 0,2\right] \rightarrow \mathbb{R}}$

$\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} 1 \quad (x,y) \in \left[ 1,2\right] \times \left[ 1,2\right] \\ 0 \quad w\quad przeciwnym \quad przypadku\end{cases}}$

Wtedy zbiór punktów nieciągłości jest nieprzeliczalny

Ale rozumowanie idzie w dobrym toku. Trzeba pokazać, że zbiór nieciągłości po jednej zmiennej jest co najwyżej nieprzeliczalny, więc ma miarę zero (tj. się go przykryć odcinkami o łącznej długości mniejszej od epsilona) i rozszerzyć to na odpowiednie prostokąty (w $\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}$ ), tzn. że w sumie ich pole też jest małe. Poza tymi punktami jest ok, bo jest ciągła.

To tylko podpowiedź, sam dowód jest niezbyt przyjemny (a przynajmniej tak mi się wydaje).

sdamian · Post autor: **sdamian** » 30 lis 2011, o 12:03

owszem zbiór punktów nieciągłości podanej przez ciebie funkcji ma moc continuum, ale jako zbiór punktów nieciągłości funkcji $\displaystyle{ f}$, rozumianej jako funkcja dwóch zmiennych,

natomiast dla podanej przez Ciebie funkcji

tzw. "cięcia poziome" $\displaystyle{ f_{Y}(x)}$ - (są to przy ustalonym $\displaystyle{ y}$ funkcje jednej zmiennej $\displaystyle{ x}$) są tu ciągłe dla każdego $\displaystyle{ 0 \le y < 1}$ oraz nieciągłe w jednym punkcie $\displaystyle{ x_{0}=1}$ dla każdego $\displaystyle{ 1 \le y \le 2}$

podobnie jest dla cięć pionowych $\displaystyle{ f_{X}(y)}$

zatem dla podanej funkcji $\displaystyle{ f,}$ jej "cięcia " poziome i pionowe są funkcjami nieciągłymi w co najwyżej jednym punkcie
(czy coś poknociłem?)

$\displaystyle{ dS}$-- 30 lis 2011, o 13:49 --ups - faktycznie "skopałem" to