wyznacznik macierzy, równianie, układ

[homerinio]

1. Rozwiąż równianie
\(\displaystyle{ \left| A\right| = \left[\begin{array}{ccc}2&0&1\\0&1&0\\-1&0&-1\end{array}\right] \cdot X = \left| A\right| = \left[\begin{array}{cc}0&2\\-2&0\\4&0\end{array}\right]}\)

2. Oblicz wyznacznik macierzy
\(\displaystyle{ \left| A\right| = \left[\begin{array}{cccc}0&1&-1&0\\2&1&0&2\\-1&0&1&0\\-2&-1&0&1\end{array}\right]=}\)

3. Rozwiąż układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y-z=0\\ x-y+z=2\\ x+2y-2z=-1 \end{cases}}\)

[miodzio1988]

Problem mamy konkretnie jaki w tych zadaniach?

[rodzyn7773]

W zadaniu drugim gdy mamy policzyć wyznacznik macierzy stopnia 4 lub więcej warto wykonać na macierzy operacje wierszowe lub kolumnowe, które wyznacznika nie zmieniają.

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&1&-1&0\\2&1&0&2\\-1&0&1&0\\-2&-1&0&1\end{array}\right]}\)
Dodajmy do 4 wiersza wiersz 2. Otrzymamy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&1&-1&0\\2&1&0&2\\-1&0&1&0\\0&0&0&3\end{array}\right]}\)
A teraz do kolumny pierwszej dodajmy trzecią. Otrzymamy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}-1&1&-1&0\\2&1&0&2\\0&0&1&0\\0&0&0&3\end{array}\right]}\)
I teraz dodajmy do 2 wiersza wiersz pierwszy pomnożony przez 2.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}-1&1&-1&0\\0&3&-2&2\\0&0&1&0\\0&0&0&3\end{array}\right]}\)
Otrzymaliśmy macierz trójkątną, której wyznacznik jest równy iloczynowi liczb na diagonali. Czyli :
\(\displaystyle{ wyz=(-1)*3*1*3=-9}\)

-- 25 lis 2011, o 23:43 --

3. Algorytm jest taki. Przepisujemy współczynniki z równań w macierz i wykonujemy operacje wierszowe. Czyli:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&-1&0\\1&-1&1&2\\1&2&-2&-1\end{array}\right]}\)
Pierwsza kolumna to współczynniki przy x, druga przy y itd. Robimy operacje wierszowe:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&-1&0\\1&-1&1&2\\1&2&-2&-1\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cccc}1&1&-1&0\\0&-2&2&2\\0&1&-1&-1\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cccc}1&1&-1&0\\0&1&-1&-1\\0&1&-1&-1\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&1\\0&1&-1&-1\\0&0&0&0\end{array}\right]}\)
Czyli podany układ równań równoważny jest układowi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1 \\ y-z=-1 \\ z \in R \end{cases} \\ \begin{cases} x=1 \\ y=-1+z \\ z \in R \end{cases}}\)
Koniec.

-- 26 lis 2011, o 00:02 --

1. Należy pomnożyć równanie lewostronnie przez macierz odwrotną do \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&0&1\\0&1&0\\-1&0&-1\end{array}\right]}\) o ile ta macierz istnieje.

Szukam macierzy odwrotnej do \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&0&1\\0&1&0\\-1&0&-1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccc}2&0&1&1&0&0\\0&1&0&0&1&0\\-1&0&-1&0&0&1\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cccccc}2&0&1&1&0&0\\0&1&0&0&1&0\\1&0&1&0&0&-1\end{array}\right]
\rightarrow \left[\begin{array}{cccccc}1&0&0&1&0&1\\0&1&0&0&1&0\\1&0&1&0&0&-1\end{array}\right]
\rightarrow \left[\begin{array}{cccccc}1&0&0&1&0&1\\0&1&0&0&1&0\\0&0&1&-1&0&-2\end{array}\right]}\)
Macierzą odwrotną do \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&0&1\\0&1&0\\-1&0&-1\end{array}\right]}\) jest macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\-1&0&-2\end{array}\right]}\). Wracając do zadania mnożymy lewostronnie i otrzymamy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\-1&0&-2\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}2&0&1\\0&1&0\\-1&0&-1\end{array}\right] *X= \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\-1&0&-2\end{array}\right] * \left[\begin{array}{cc}0&2\\-2&0\\4&0\end{array}\right] \\ X= \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\-1&0&-2\end{array}\right] * \left[\begin{array}{cc}0&2\\-2&0\\4&0\end{array}\right] \\ X= \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\-1&0&-2\end{array}\right] * \left[\begin{array}{cc}0&2\\-2&0\\4&0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}4&2\\-2&0\\-8&-2\end{array}\right]}\)