Matura próbna, rozszerzona operon

[michas-__]

Jak wam wyszło z okręgiem \(\displaystyle{ <-4;4>}\) ? Bo nie wiem czy mój sposób był zły czy błąd obliczeniowy mi się wkradł, gdyż wyszło mi \(\displaystyle{ <-2;2>}\)

[Patron]

Przykro mi ale obawiam się, że twoja odpowiedź jest błędna :/ wierzchołki nie są \(\displaystyle{ (3+ \sqrt{5}, -4) oraz (3- \sqrt{5}, -4)}\)
tylko:
\(\displaystyle{ (3+ \sqrt{3}, -6) oraz (3- \sqrt{3}, -6)}\)

Tak, tak, ale kurczę dobrze liczyłem bo wyszło mi \(\displaystyle{ 3+3\sqrt{3}}\) i potem jakoś inaczej policzyłem i zamiast pierwiastka z 3 to 5 się zrobiło. No mam nadzieje, że tylko za końcówkę ujmą...

[witek1902]

Jak wam wyszło z okręgiem \(\displaystyle{ <-4;4>}\) ? Bo nie wiem czy mój sposób był zły czy błąd obliczeniowy mi się wkradł, gdyż wyszło mi \(\displaystyle{ <-2;2>}\)

Obliczasz punkt wspólny dwóch podanych prostych, później obliczasz przedział, w którym koło ma punkty wspólne z pierwszą prostą. Wychodzi przedział właśnie \(\displaystyle{ <-2;2>}\) (jeśli dobrze pamiętam) i później podstawiając do punktu wspólnego obu prostych wychodzi, że \(\displaystyle{ k \in <-4;4>}\).
Wystarczyło spojrzeć na rysunek, można było łatwo sprawdzić sobie wynik.

Patron, czyli i tak ponad 90% będzie na spokojnie Ja byłbym bardzo zadowolony z takiego wyniku
Mi niestety odejmą trochę więcej, będę miał pewnie ok 85%
Podstawę "spierdzieliłem", bo można było ją spokojnie na 100% pyknąć, a będzie ok. 90% (ostatnie zadanie źle, bo jeszcze nie miałem stereometrii i nie wiedziałem, że kąt nachylenia krawędzi \(\displaystyle{ \neq}\) kątowi nachylenia ściany no i jedno zamknięte źle, z sumą ciągu geometrycznego, przez nieuwagę).

[Patron]

Hm, a ten wielomian \(\displaystyle{ W(x)>0}\) to \(\displaystyle{ W(x) = (x+1)(x-2)(x-3)...}\) Ten trzeci był równy (x-3)? I potem przedziały \(\displaystyle{ (-1,2) \cup (3, \infty )}\)? Bo było za 6pkt o ile pamiętam..

[Rik93]

Patron, tak jest dobrze.

Ja tak liczę na ok. 80%, bo źle zrobiłem zadanie z kombinatoryki, które było banalne.

[szprot_w_oleju]

A to ostatnie z trójkątem jak zrobiliście?
Ja wziąłem żywcem z karty wzorów i wyszedł kąt 30 stopni. Później z tw. cosinusów i... koniec? Czy coś jeszcze trzeba było zdziałać?

[pawel0520]

Hm, a ten wielomian \(\displaystyle{ W(x)>0}\) to \(\displaystyle{ W(x) = (x+1)(x-2)(x-3)...}\) Ten trzeci był równy (x-3)? I potem przedziały \(\displaystyle{ (-1,2) \cup (3, \infty )}\)? Bo było za 6pkt o ile pamiętam..

no to super... mam juz i po wielomianach. nie wiem dlaczego wyszlo mi \(\displaystyle{ (- \sqrt{3}; \sqrt{3}) \cup (2;+ \infty )}\)
punkty a i b mi wyszły dobrze chyba, wiec gdzieś w przekształceniach dalej się pomyliłem...

szprot_w_oleju, tylko tyle było trzeba się napracować w tym zadaniu.

[aras014]

Matura wcale nie była taka trudna. Tymbardziej mnie to denerwuje, bo znałem sposób rozwiązania wszystkich zadań, a błędy (bardzo banalne) zrobiłem w obliczeniach rachunkowych (a to się minusa zapomniało, źle podzieliło/pomnożyło itd). I wiele punktów przez takie banalne błędy straciłem . . .

[pawel0520]

no ja tez zepsułem. szczególnie podstawe, bo spokojnie mogło być 100% tylko popełniłem głupi błąd.

[witek1902]

A ja zrobiłem bez twierdzenia cosinusów ostatnie. Pitagoras dwukrotnie i wyszło to samo

[Ciastko]

A w ostatnim nie było przypadkiem \(\displaystyle{ \sin x= \frac{1}{2}}\)? Bo jeśli tak, to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) jest też sinusem 150 stopni, więc były chyba dwa wyniki.

[kamil13151]

Zad. 1
Znajdź ujemny pierwiastek równania \(\displaystyle{ ||2x-1|-2|=4}\).

Zad. 2
Prostokąt o bokach długości a, b jest podobny do prostokąta o długości \(\displaystyle{ a+5}\), \(\displaystyle{ b+5}\). Wykaż, że te prostokąty są kwadrami.

Zad. 3
Dla jakich \(\displaystyle{ x}\) liczby \(\displaystyle{ \frac{1}{2 \tg x}, \ \cos x, \ \sin x}\) w podanej kolejności są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

Zad. 4
Wykaż, że dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ a>0}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \log^2 (\pi a) + \log^2 ( \pi +a) \ge \frac{2}{\log_{ \pi + a} 10}- \log_{ \pi } \pi}\)

Zad. 5
Wierzchołki trójkąta równobocznego \(\displaystyle{ ABC}\) leżą na paraboli, będącej wykresem funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^2-6x}\). Punkt \(\displaystyle{ C}\) leży w wierzchołku paraboli. Znajdź współrzędne jednego z pozostałych wierzchołków trójkąta.

Zad. 6
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa \(\displaystyle{ 2a}\). Miara kąta między przekątną podstawy a przekątną ściany bocznej wychodzącą z tego samego wierzchołka jest równa \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz objętość graniastosłupa.

Zad. 7
W konkursie Jaka to piosenka? uczestnik zna 12 spośród przygotowanych 20 piosenek. Prowadzący przedstawia mu 4 piosenki. Uczestnik musi odgadnąć tytuł co najmniej jednej piosenki, aby przejść do dalszego etapu konkursu. Oblicz prawdopodobieństwo, że uczestnik przejdzie do dalszego etapu konkursu. Wynik podaj z dokładnością do 0,01.

Zad. 8
Oblicz, dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ k}\)punkt przecięcia się prostych o równaniach \(\displaystyle{ y=-x}\) , \(\displaystyle{ y=x+k}\) należy do koła o nierówności \(\displaystyle{ (x+1)^2+(y+1)^2 \le 10}\).

Zad. 9
Wiadomo, że pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^3+ax^2+bx+6}\) są liczby -1 i 2. Rozwiąż nierówność \(\displaystyle{ W(x)>0}\).

Zad. 10
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie \(\displaystyle{ (m-1)x^2+2(m+1)x+m+4=0}\) ma jedno rozwiązanie.

Zad. 11
W trójkącie o polu \(\displaystyle{ \frac{1}{4}ab}\) dwa boki mają długość \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Znajdź długość trzeciego boku.

Moje odpowiedzi:
1. \(\displaystyle{ x=- \frac{5}{2}}\)
3. \(\displaystyle{ x= -\frac{\pi}{3}+2k \pi \vee x= \frac{\pi}{3}+2k \pi \ \ \text{gdzie} \ \ k \in C}\)
5. np. \(\displaystyle{ \left( 3+ \sqrt{3}; -6 \right)}\)
6. \(\displaystyle{ V= \frac{4a^3 \sqrt{2-4 \cos^2 \alpha} }{\cos \alpha}}\)
7. \(\displaystyle{ P(A) \approx 0,99}\)
8. \(\displaystyle{ k \in [-4;4]}\)
9. \(\displaystyle{ x \in (-1;2) \cup (3;+ \infty )}\)
10. \(\displaystyle{ m \in \left\{ 1; 5\right\}}\)
11. \(\displaystyle{ c= \sqrt{a^2+b^2- \sqrt{3}ab } \vee c= \sqrt{a^2+b^2+ \sqrt{3}ab }}\)

[aras014]

Jak obliczyc to zadanie 3?
Mi wyszlo \(\displaystyle{ \cos x(\cos x- \frac{1}{2})=0}\)
\(\displaystyle{ \cos x=0 \\
x= \frac{\pi}{2} +k\pi \\
x= \frac{\pi}{3} + 2k\pi \\
x=-\frac{\pi}{3} + 2k\pi}\) \
W odpowiedziach innych maturzystów widziałem zapis
\(\displaystyle{ \cos x=0 \\
x=k\pi \\}\)
\(\displaystyle{ k\pi}\) było odrzucane ponieważ nie należało do dziedziny
Co jest poprawne?

[kamil13151]

aras014, \(\displaystyle{ \cos x =0}\) odrzucamy, bo nie należy do dziedziny. \(\displaystyle{ \sin x \neq 0 \wedge \cos x \neq 0}\).

[aras014]

Czy ta dziedzina wynika z:
\(\displaystyle{ \\
\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}}\)