Niesprawiedliwa moneta

[umiejscowiony1]

Witam,
mam takie zadanie:

Jest moneta, która nie jest sprawiedliwa w zastosowaniu
do losowania, tj. jedna strona częściej wypada od
drugiej. Nie wiemy, która strona monety wypada
częściej, ale wiemy na pewno, że prawdopodobieństwa
nie są takie same. Są dwa posprzeczane stronnictwa,
które, aby rozstrzygnąć, kto ma ustąpić, postanowiły
zdać się na los i rzucić monetę. Niestety, mają do
dyspozycji tylko tę niesprawiedliwą monetę.
Zaproponuj metodę rzucania tej monety, którą stronnictwa
mogłyby użyć do sprawiedliwego wylosowania jednej ze
stron.
Rozwiązanie uzasadnij.

Dzięki z góry.

[Kartezjusz]

p nieznane i rzucić 10 razy monetą .W sprawiedliwym wypadku wartość oczekiwania wynosiłaby 5 (\(\displaystyle{ 10 \cdot \frac{1}{2}}\)rozkład Bernoulliego) i wiedząc,że niesprawiedliwa też na rozkład dwupunktowy też możemy policzyć
ile razy wypadnie jedna ze stron .ta,która jest wypada częściej.

[JakimPL]

Zapewne teraz wiele osób googluje to zadanie, to dodam, że rozumowanie powyżej jest intuicyjne, lecz błędne. Nie można zapomnieć, że zawsze przy skończonej ilości rzutów istnieje dodatnie prawdopodobieństwo, że felerna, mniej uprzywilejowana strona może wypaść częściej...

[mat_61]

Uwaga JakimPL jest jak najbardziej słuszna, bo faktycznie w skończonej licznie rzutów nie jesteśmy w stanie stwierdzić, która strona monety jest uprzywilejowana (tzn. wypada częściej) ale trzeba zauważyć, że zadanie w ogóle nie dotyczy "znalezienia" tej uprzywilejowanej strony.

Zadanie dotyczy tego jak użyć takiej monety do sprawiedliwego losowania tzn. żeby p-stwa dla wyniku doświadczenia dającego wygranie każdemu ze stronnictw było takie same. Przy symetrycznej monecie, sprawa jest jasna, bo obstawiając orła dla stronnictwa \(\displaystyle{ A}\) oraz reszkę dla stronnictwa \(\displaystyle{ B}\) mamy \(\displaystyle{ P(A)=P(B)= \frac{1}{2}}\) .

Jeżeli dla pojedynczego rzutu \(\displaystyle{ P(A) \neq P(B)}\) to oznacza, że rozstrzygnięcie za pomocą takiego rzutu jest niesprawiedliwe, co oczywiście nie oznacza, że wygra ten kto obstawi wynik mający większe p-stwo.

Sprawiedliwy sposób rzucania może być np. taki, że rzucamy dwa razy monetą i tak określamy zwycięzcę:

A wygrywa, jeżeli w pierwszym rzucie wyrzucimy orła pod warunkiem, że w drugim rzucie wyrzucimy reszkę

B wygrywa, jeżeli w pierwszym rzucie wyrzucimy reszkę pod warunkiem, że w drugim rzucie wyrzucimy orła.

Nikt nie wygrywa jeżeli wyrzucimy dwa razy orła lub dwa razy reszkę (wówczas powtarzamy sekwencję dwóch rzutów aż do rozstrzygnięcia).

Pozostaje łatwe uzasadnienie, że p-stwo wygrania dla obydwu stronnictw jest takie samo, czyli zaproponowany sposób jest sprawiedliwy.

[JakimPL]

Skoro rzucający nie wiedzą, która strona jest felerna, to można rzucić raz . Wybierają jedną z dwóch stron i zdarzeniem jest tu wybranie felernej strony, a wybranie strony o jednej cesze ma szanse \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).

[mat_61]

Skoro rzucający nie wiedzą, która strona jest felerna, to można rzucić raz .

A niby dlaczego? W jaki sposób niewiedza o tym która strona jest felerna determinuje ilość rzutów?

Wybierają jedną z dwóch stron i zdarzeniem jest tu wybranie felernej strony, a wybranie strony o jednej cesze ma szanse \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).

Co oznacza, że zdarzeniem jest tu wybranie felernej strony?
Zdarzeniem elementarnym jest każdy możliwy wynik doświadczenia. Jeżeli doświadczenie polegałoby na wybraniu strony, to wybór strony felernej mógłby być co najwyżej zdarzeniem sprzyjającym z p-stwem równym \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i to formalnie byłoby w porządku, ale na czym wówczas polegałoby samo doświadczenie w sensie fizycznym? Przecież nie mogłoby polegać na rzucie monetą, bo wyniki takiego doświadczenia, czyli zdarzenia elementarne nie są jednakowo prawdopodobne.
Można sobie wyobrazić, że ktoś położyłby (nie poprzez rzut tylko losowy wybór) monetę na stole i wówczas należałoby zgadnąć którą stroną do góry ta moneta leży, ale w zadaniu jest mowa o doświadczeniu z rzucaniem monety.

Losowanie/doświadczenie sprawiedliwe to takie losowanie/doświadczenie którego każdy wybrany wynik jest jednakowo prawdopodobny. czy Ty stosujesz inną definicję losowania/doświadczenia które uznajesz za sprawiedliwe?

[JakimPL]

Przyjąłem fakt, że wynik rzutu jest ustalony (np. wykonany wcześniej) i prawdopodobieństwo samego tego zdarzenia nie wlicza się do przyjmowanego modelu.

Żeby zobrazować, co mam na myśli, załóżmy że wykonano rzut felerną monetą, a prawdopodobieństwo wylosowania orła okazało się \(\displaystyle{ 1}\). Strony, które biorą udział w "losowaniu" nie znają ani wyniku, ani tym bardziej, która strona monety jest uprzywilejowana. Zdarzeniem elementarnym nie jest tu zatem sam rzut monetą, tylko wybór ze stron, w którym możliwe są tylko dwie sytuacje:

- strona \(\displaystyle{ A}\) wybierze orła, \(\displaystyle{ B}\) - reszkę,
- strona \(\displaystyle{ A}\) wybierze reszkę, \(\displaystyle{ B}\) - orła.

Skoro strony konfliktu nie wiedzą, która ze stron jest uprzywilejowana, obydwie sytuacje z perspektywy uczestnika są równo uprzywilejowane, stąd wagi obu decyzji równe. Innymi słowy, sytuacje są dwie:

- strona \(\displaystyle{ A}\) wybierze stronę, która wypadła, \(\displaystyle{ B}\) - stronę, która przegrywa,
- strona \(\displaystyle{ A}\) wybierze stronę przegrywającą, \(\displaystyle{ B}\) - wygrywającą.

Ktoś mógłby spróbować zredukować rozumowanie do absurdu typu "szansa na wygranie \(\displaystyle{ 6}\) w Totolotku jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), albo się wygra, albo nie". Jednak analogiczna sytuacja byłaby w sytuacji, w której wybieramy jeden z dwu kuponów, z których dokładnie jeden jest wygrywający.

Teraz pytanie tylko, czy model jest adekwatny do rzeczywistości.

[mat_61]

Jeżeli - jak napisałeś w pierwszym akapicie- nie uwzględniasz w modelu samego faktu rzutu monetą to wówczas musisz być konsekwentny i nie możesz jako wygrywającej pozycji monety uznać takiej która jest wynikiem tego rzutu (czyli czegoś co miałeś nie uwzględniać).

Jeżeli jednak uwzględniasz wynik rzutu monetą - tak jak napisałeś w opisie - to wówczas wg podanej przeze mnie definicji proponowane przez ciebie losowanie jest niesprawiedliwe.
Sam fakt, że zgadujący nie wie który wybór jest bardziej lub mniej prawdopodobny (czyli który jest lepszy) nie ma dla rozstrzygnięcia sprawiedliwości losowania istotnego znaczenia, bo istotne z punktu widzenia definicji którą podałem jest to, że wybory nie są jednakowo prawdopodobne.

Mówiąc inaczej losowanie będzie sprawiedliwe wówczas gdy prawdopodobieństwo wygranej stronnictwa A przy wybraniu przez nią orła będzie będzie takie samo jak prawdopodobieństwo wygranej stronnictwa A przy wybraniu przez nią reszki. A w zaproponowanym przez Ciebie modelu tak niestety nie jest.

Zauważ, że proponowane przez Ciebie rozstrzygnięcie nie różni się praktycznie niczym od sytuacji gdyby po prostu rzucić tą monetą. Przyjmując Twoją argumentację można powiedzieć, że wybierający orła lub reszkę nie wie która ze stron jest uprzywilejowana czyli nie może świadomie wybrać tej lepszej.

[gblablabla]

Wiadomo na pewno, że wypadnięcie orła (reszki) oraz (bez wiedzy o sprawiedliwej/niesprawiedliwej części czy wyniku doświadczenia) wybór przez stronę
\(\displaystyle{ A}\) (\(\displaystyle{ B}\)) orła (reszki), to zdarzenia niezależne.

Oznaczając:
prawdopodobieństwo wypadnięcia orła: \(\displaystyle{ o \neq 0,5}\)
prawdopodobieństwo wypadnięcia reszki: \(\displaystyle{ 1 - o \neq 0,5}\)
prawdopodobieństwo wyboru przez stronę \(\displaystyle{ A}\) orła: \(\displaystyle{ p}\)

Prawdopodobieństwo zwycięstwa strony \(\displaystyle{ A}\) wynosi:
\(\displaystyle{ o \cdot p + (1 - o) \cdot (1 - p)}\).

Chcemy, żeby gra była sprawiedliwa, więc, żeby prawdopodobieństwo zwycięstwa strony \(\displaystyle{ A}\) wynosiło dokładnie \(\displaystyle{ 0,5}\) - zachodzi to dla \(\displaystyle{ p = 0,5 \vee o = 0,5}\).

Moneta jest niesprawiedliwa, więc pozostaje nam opcja \(\displaystyle{ p = 0,5}\).
Nie możemy narzucić stronie \(\displaystyle{ A}\), żeby wybierała orła z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,5}\), bo może chcieć wybrać reszkę, więc zaproponowane doświadczenie nie jest fair.

Jak tylko wprowadzam zamęt, to przepraszam.
Przydałoby się, żeby jakiś spec to wszystko skomentował, bo dla tak banalnych przykładów, prawdopodobieństwo jest absurdalne.

[mat_61]

Wybranie wyników doświadczenia przez \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), to zdarzenia jak najbardziej zależne. Przecież jak \(\displaystyle{ A}\) wybierze np. orła, to determinuje to wybór wyniku przez \(\displaystyle{ B}\). Poza tym jak zdecydować kto ma wybierać pierwszy? Mówimy tu o takim losowaniu, które musi wyłonić zwycięzcę, czyli obydwoje nie mogą wybrać tego samego.

To jest tak jakby mama miała zdecydować kto dzisiaj będzie odkurzał a kto wyrzuci śmieci i rzuca monetą. Nie jest w takim doświadczeniu istotne kto co wybierze (orła czy reszkę), bo w sensie p-stwa obydwa wyniki są jednakowo prawdopodobne i mama może nawet sama arbitralnie zdecydować: Wojtek - reszka, Zbyszek - orzeł. Chodzi tylko o to, że w sensie jednakowego p-stwa wygrania każdego z nich (powiedzmy, że każdy woli odkurzać) taki sposób losowania jest sprawiedliwy, bo nie faworyzuje żadnego wyboru.

Jeżeli jednak mama rzuca monetą niesymetryczną, to p-stwo wygrania każdego z uczestników zależy od tego jaka strona monety jest "przypisana" do każdego z nich.

I teraz mamy taki problem. Dysponujemy jedną monetą niesymetryczną, czyli p-stwa wypadnięcia orła i reszki są różne i mamy zaproponować taki model losowania/rzucania monetą aby można je było uznać za sprawiedliwe. Co to znaczy, czyli jaka jest przyjmowana przeze mnie definicja sprawiedliwego losowania napisałem wcześniej (oczywiście ktoś może zaproponować inne znaczenie zwrotu "sprawiedliwe losowanie", czyli inną definicję i do niej dostosować i uzasadnić rozwiązanie).

Moja propozycja była taka, że rzucamy monetą dwa razy i:

A wygrywa, jeżeli w pierwszym rzucie wyrzucimy orła pod warunkiem, że w drugim rzucie wyrzucimy reszkę

B wygrywa, jeżeli w pierwszym rzucie wyrzucimy reszkę pod warunkiem, że w drugim rzucie wyrzucimy orła.

Nikt nie wygrywa jeżeli wyrzucimy dwa razy orła lub dwa razy reszkę (wówczas powtarzamy sekwencję dwóch rzutów aż do rozstrzygnięcia).

Ponieważ pierwszy i drugi rzut są niezależne, to:

P-stwo wygrania \(\displaystyle{ A}\): \(\displaystyle{ P(A)=o \cdot r=o (1-o)}\)
P-stwo wygrania \(\displaystyle{ B}\): \(\displaystyle{ P(B)=r \cdot o=(1-o)o}\)

Niewątpliwie \(\displaystyle{ P(A)=P(B)}\), czyli można uznać, że taki sposób losowania jest sprawiedliwy.

Chcemy, żeby gra była sprawiedliwa, więc, żeby prawdopodobieństwo zwycięstwa strony \(\displaystyle{ A}\) wynosiło dokładnie \(\displaystyle{ 0,5}\)

Jak dla mnie gra jest sprawiedliwa jeżeli p-stwo zwycięstwa każdej strony jest jednakowe, ale niekoniecznie równe \(\displaystyle{ 0,5}\). Przykładowo jeżeli przy rzucie kostką jeden wybierze dwójkę a drugi czwórkę, to taka gra jest sprawiedliwa choć p-stwo wygrania każdego z nich wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\)

[gblablabla]

Niejasno to napisałem, może na przykładzie.
Wynik doświadczenia np. wypadł orzeł to zdarzenie niezależne ze zdarzeniem strona \(\displaystyle{ A}\) wybrała orła. O to mi chodziło.
Oczywiste, że gdy strona \(\displaystyle{ A}\) wybiera reszkę, to strona \(\displaystyle{ B}\) wybiera orła i są to zdarzenia zależne, nie o to mi chodziło.

Rozumiem Twój tok rozumowania i jest on jak najbardziej poprawny.
Rozumiem też, że aby gra była sprawiedliwa, prawdopodobieństwo wygranej strony \(\displaystyle{ A}\) musi być równe prawdopodobieństwu wygranej strony \(\displaystyle{ B}\) - jak w Twoim przykładzie. Przypuszczam, że jeśli w Twojej metodzie np. dwa razy wypadnie orzeł, doświadczenie należy powtórzyć.

Teraz, znając już moje rozumowanie, proszę udowodnij mi, że się mylę albo przyznaj rację.
Moneta zostaje rzucona, następnie strony obstawiają orła bądź reszkę, nie wiedząc nic o monecie.

prawdopodobieństwo wygranej strony \(\displaystyle{ A}\) \(\displaystyle{ =}\)
prawdopodobieństwo wypadnięcia orła \(\displaystyle{ \cdot}\) prawdopodobieństwo obstawienia orła przez stronę \(\displaystyle{ A}\) \(\displaystyle{ +}\) prawdopodobieństwo wypadnięcia reszki \(\displaystyle{ \cdot}\) prawdopodobieństwo obstawienia reszki przez stronę \(\displaystyle{ A}\)

prawdopodobieństwo wygranej strony \(\displaystyle{ B}\) \(\displaystyle{ =}\)
prawdopodobieństwo wypadnięcia orła \(\displaystyle{ \cdot}\) prawdopodobieństwo obstawienia reszki przez stronę \(\displaystyle{ A}\) \(\displaystyle{ +}\) prawdopodobieństwo wypadnięcia reszki \(\displaystyle{ \cdot}\) prawdopodobieństwo obstawienia orła przez stronę \(\displaystyle{ A}\)

\(\displaystyle{ po + (1 - p)(1 - o) = p(1 - o) + (1 - p)o}\)
co zachodzi tylko dla \(\displaystyle{ o = 0,5}\), więc losowanie jest nieuczciwe, bo nie możemy założyć, że strona \(\displaystyle{ A}\) wybierze orła z prawdpodobieństwem \(\displaystyle{ 0,5}\)?

[mat_61]

1. O którym losowaniu piszesz, że jest nieuczciwe? Z twojego opisu wynika, że chodzi o losowanie polegające na jednokrotnym rzucie niesymetryczną monetą. Jeżeli tak, to od początku piszę to samo (choć z innym uzasadnieniem) w odpowiedzi na post JakimPL. Natomiast w zadaniu nie chodzi o pokazanie, że jednokrotny rzut niesymetryczną monetą, jest losowaniem nieuczciwym, tylko o znalezienie takiego doświadczenia z wykorzystaniem niesymetrycznej monety które daje losowanie uczciwe.

2. W opisie mojego doświadczenia jak i w innych podawanych przykładach, p-stwa samej decyzji wyboru wyniku nie włączam do modelu doświadczenia (w zasadzie taki jest standard zadań jeżeli z treści nie wynika coś innego). Czyli wygranej/przegranej nie liczę jako p-stwo całkowite. Przestrzeń zdarzeń elementarnych, to tylko możliwe wyniki rzutu/rzutów. Natomiast p-stwo liczone jest dla zdarzeń elementarnych sprzyjających podanemu zdarzeniu, czyli np. dla jednego rzutu monetą:

\(\displaystyle{ \Omega=\left\{ O;R \right\}}\)

i liczę p-stwa wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych:

\(\displaystyle{ P(O)=... \ \ P(R)=...}\)

Dla dwóch rzutów monetą:

\(\displaystyle{ \Omega=\left\{ \left( O;O\right) ;\left( O;R\right); \left( R;O\right) ; \left( R;R\right) \right\}}\)

i liczę p-stwa wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych:

\(\displaystyle{ P(O;O)=... \ \ P(O;R)=... \ \ P(R;O)=... \ \ P(R;R)=...}\)

Dla mnie sprawiedliwym losowaniem jest takie, że dla dwóch różnych wyborów wyników otrzymamy jednakowe p-stwo. Z pośród powyższych dla niesymetrycznej monety równość taka zachodzi dla \(\displaystyle{ P(O;R)=P(R;O)}\)

[gblablabla]

O którym losowaniu piszesz, że jest nieuczciwe?

O tym, które proponuje JakimPL. Intuicyjnie wydaje mi się nieuczciwe, lecz drążę temat, bo...
w gruncie rzeczy nie wiem czemu niepoprawne.

Natomiast w zadaniu nie chodzi o pokazanie, że jednokrotny rzut niesymetryczną monetą, jest losowaniem nieuczciwym, tylko o znalezienie takiego doświadczenia które daje losowanie uczciwe.

Tak, ale nie rozumiem do końca czemu rozwiązanie JakimaPL jest złe.

W opisie mojego doświadczenia jak i w innych podawanych przykładach, p-stwa samej decyzji wyboru wyniku nie włączam do modelu doświadczenia (w zasadzie taki jest standard zadań jeżeli z treści nie wynika coś innego).

Sugerujesz zatem, że wzięcie pod uwagę p-stwa wyboru orła bądź reszki jest błędem. Czemu?

[mat_61]

Na początek kilka uwag ogólnych.

Zakładam, że każdy model powinien jak najlepiej odzwierciedlać rzeczywiste doświadczenie i dla jego opisu wymagana jest możliwie duża jednoznaczność użytych sformułowań. Widać to dobrze właśnie w zadaniach z p-stwa, bo często rozumienie treści "rozbija" się o interpretację i znaczenie słów.

Przykładowo w tym zadaniu jest mowa o "sprawiedliwym losowaniu". Co to oznacza? Wg mnie odpowiedź na to pytanie może determinować samo rozwiązanie. Jeżeli przyjąć rozumowanie JakimPL to ja rozumiem je w ten sposób:

Ponieważ nie wiemy z jakim p-stwem uzyskamy różne możliwe wyniki, to niezależnie jaki wynik wybierzemy (no bo nie wiedząc o tym nie możemy świadome wybrać wyniku lepszego) losowanie możemy uznać za sprawiedliwe.

Z uzasadnienia JakimPL można wywnioskować, że wg niego doświadczeniem jest wybór pomiędzy reszką i orłem (z równym p-stwem) a nie sam rzut monetą (a przecież w zadaniu mamy podać jak rzucać monetą aby losowanie było sprawiedliwe)

Moje rozumowanie jest takie:

Sprawiedliwe losowanie jest wówczas, jeżeli niezależnie od tego który z zaproponowanych wyników rzutu/rzutów wybierze każda z drużyn, to p-stwo wygrania będzie dla obydwu takie same

Dla tak zdefiniowanego sprawiedliwego losowania przedstawiłem swoje rozumowanie.

Sugerujesz zatem, że wzięcie pod uwagę p-stwa wyboru orła bądź reszki jest błędem. Czemu?

Może nie tyle uważam to za błąd co za niepotrzebny dodatek do modelu doświadczenia. Między innymi dlatego, że nic nie możemy powiedzieć o p-stwie tego wyboru. Sam napisałeś, że nie można założyć, że wybór orła nastąpi z określonym p-stwem. Tym samym nic to nie wnosi do rozumowania. Przy jednokrotnym rzucie symetryczną monetą gdy obliczymy je jako p-stwo całkowite "dokładając" wybór wyniku otrzymamy:

\(\displaystyle{ P(A)=0,5p+0,5(1-p)=0,5}\)

Jak widać wartość \(\displaystyle{ p}\) nie ma żadnego znaczenia dla wyniku p-stwa. Jeżeli np. wierzymy w przeznaczenie, albo we wróżby i będziemy obstawiać orła z p-stwem \(\displaystyle{ 0,7}\) , to i tak nie zmieni to naszej szansy wygranej.

Analogicznie, w Twoim rozumowaniu otrzymałeś, że losowanie będzie sprawiedliwe tylko wtedy, jeżeli \(\displaystyle{ p=0,5}\) a ponieważ nic nie możemy powiedzieć jakie faktycznie jest \(\displaystyle{ p}\), to losowanie uznałeś za niesprawiedliwe. Taki sam wniosek wyciągniemy licząc p-stwo otrzymania orła/reszki, bez rozszerzania modelu o p-stwo wyboru wyniku.

[gblablabla]

Dziękuję za wyczerpującą odpowiedź!

Argumentujesz zatem, że metoda proponowana przez JakimPL nie tyle co jest niesprawiedliwa, ale nie spełnia warunków zadania, bo nie tyczy się ona rzutów monetą (koniecznie liczba mnoga), ale wyboru orła czy reszki. Dobrze rozumiem?

Dla niesprawiedliwej monety jedynie dla \(\displaystyle{ p = 0,5}\) wynik byłby sprawiedliwy, ale mimo że strona \(\displaystyle{ A}\) ma tylko dwie opcje do obstawienia, nie wiemy z jakim prawdopodobieństwem strona \(\displaystyle{ A}\) wybierze orła, więc nie możemy stąd nic wnioskować. Tak jest?

To wszystko jest niesłychanie ciekawe, no ale ten przedmiot mam dopiero za pół roku